Las ecuaciones e inecuaciones son herramientas muy importantes y fundamentales para estudiar la realidad y encontrar las respuestas amuchas situaciones cotidianas. Son la base de muchas ciencias para el estudio de la naturaleza y sus fenómenos. Por ejemplo, para estudiar la caída de los cuerpos, el movimiento de cualquier cuerpo celeste, ya sea la tierra, la luna, el sol, etc.
Además de explicar los fenómenos naturales, el estudio de las ecuaciones han permitido el avance tecnológico que ha revolucionado el mundo y la forma de actuar y pensar de la humanidad. Ejemplos de ellos tenemos el computador, el celular, el GPS y muchos ejemplos que vemos a diario, de ahí la importancia de estudiar las ecuaciones.
IGUALDADES
Una igualdad es una relación entre dos cantidades numéricas que se expresa mediante el signo igual (=). Cada cantidad se le llama miembro de la igualdad. La igualdad puede ser NUMÉRICA, si solamente contiene números relacionados mediante las operaciones matemáticas o ALGEBRAICA si contiene incógnitas, es decir, términos desconocidos.
ACTIVIDAD
Identifica las siguientes igualdades y clasifica las que son numéricas y las que son algebraicas
A) 4 + 8 = 3(4) B) 23 = 64/8 C) 2X + 5 = 4
D) 2( 3 + 4 ) = 14 E) – 2y – 1 = 0 F) 3m = 6
ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad en la cual uno o varios valores son desconocidos, para nombrar estos valores se utilizan letras: a, b, c x, y, …. llamadas incógnitas.
Una ecuación es una igualdad algebraica que es cierta para algunos valores de las incógnitas y falsa para otros.
Las soluciones de una ecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas, de manera que al sustituirlas en la ecuación se satisface la igualdad
EJEMPLOS
1) Sea la ecuación 5x = 20, es una ecuación que tiene una única solución. x = 4.
2) x2 = 25, es una ecuación que tiene dos soluciones, x = 5 y x = - 5
3) 2a – a = 12 + a, no tiene solución, ya que al reducir términos semejantes se obtiene 0 = 12, lo cual es falso
4) 5m + 1 – 3m = 2m +1, es una ecuación que representa una identidad, ya que al reducir términos semejantes se obtiene una igualdad:
2m + 1 = 2m + 1
Por tanto, la diferencia entre identidad y ecuación es que la identidad siempre es cierta, mientras que la ecuación no.
5.- Escribe el enunciado en forma de ecuación:
En un curso hay 36 estudiantes, el número de niñas es el triple del número de niños. Encuentra el número de niñas y niños que hay en el curso.
SOLUCIÓN
Si se designa con x el número de niños, entonces 3x será el número de niñas, ya que se dice que el número de niñas es el triple del de niños y por eso se toman los niños.
De acuerdo al enunciado se plantea la ecuación: x + 3x = 36. Esta igualdad se cumple solo si
x = 9, Por tanto, el número de niños es de 9 y de niñas 27.
ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Las ecuaciones equivalentes se obtienen cuando se busca resolver una ecuación.
Para obtener una ecuación equivalente o otra, se aplican las siguientes propiedades:
a) Si a los dos miembros de una ecuación se le adiciona o sustrae un mismo número, es obtiene otra ecuación equivalente.
b) Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por un mismo número, diferente de cero, se obtiene una ecuación equivalente.
EJEMPLOS RESUELTOS
1.- Para solucionar la ecuación 5x + 22 = 2x + 49, se hallan ecuaciones equivalentes aplicando los pasos anteriores, Observa:
5x + 22 = 2x + 49 se parte de la ecuación dada
5x + 22 – 22 = 2x + 49 – 22 se sustrae 22 a los dos miembros
5x = 2x + 27 se realizan las operaciones
5x – 2x = 2x – 2x + 27 se sustrae 2x a cada miembro
3x = 27 se reducen términos semejantes
3x/3 = 27/3 se divide por 3 cada miembro
x = 9 se simplifica o se divide y se obtiene la solución
Las ecuaciones 5x + 22 = 2x + 49 y 3x = 27 son equivalentes y tienen la misma solución, x = 9
2.- Verificar que x = 9 es solución de la ecuación 5x + 22 = 2x + 49 y de la ecuación 3x = 9.
Para verificar que un valor dado es solución o no de una ecuación se reemplaza ese valor y se realizan las operaciones indicadas. Observa:
A .- Para 5x + 22 = 2x + 49
5(9) + 22 = 2(9) + 49
45 + 22 = 18 + 49
67 = 67 Como la igualdad se satisface, se dice que x = 9 es solución de la ecuación dada
B.- Para 3x = 27. Reemplazamos el valor y tenemos:
3(9) = 27
27 = 27 Como la igualdad se satisface, se dice que x = 9 es solución de la ecuación dada
De todo lo anterior se concluye que dichas ecuaciones son equivalentes.
3.- Resolver la ecuación 5(2x + 3) = – 3(x – 8) + 4 :
Antes de resolver una ecuación, efectuamos las operaciones indicadas, en este caso aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación, quedando:
5(2x) + 5(3) = –3(x) –3(–8) + 4 : ahora hacemos la operaciones indicadas
10x + 15 = –3x + 24 + 4 Realizamos las operaciones indicadas
10x + 15 = –3x + 28
esta ecuación es equivalente a la original, y con esta es que vamos a trabajar
Como el 15 es positivo, restamos 15 a cada miembro de la ecuación
10x + 15 – 15 = –3x + 28 – 15 resolviendo las operaciones
10x = –3x +13 como 3x es negativo, sumamos 3x a cada lado de la ecuación
10x + 3x = –3x + 3x + 13 resolviendo las operaciones
13x = 13
como 13 está multiplicando a la incógnita x, dividimos por 13 a cada lado
13x/13 = 13/13 efectuando las operaciones
x = 1 Esta es la solución de la ecuación
ACTIVIDADES INTERACTIVAS:
https://www.intermatia.com/ejercicios/EC003/
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebralineal/sistemas/ecuaciones-lineales.html
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1.- Resuelve las ecuaciones, obteniendo ecuaciones equivalentes. Verifica tus respuestas.
A .- 5x + 4 = 19 + 2x
B.- 18a – 50 = 14a – 4a + 6
C.- 6y – 4 = 60 – 2y
2.- Las edades de tres niños son números pares consecutivos, si la suma de las tres edades es de 42 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?
3.- Angela dibujó un rectángulo cuyo largo es tres veces su ancho. Si el perímetro del rectángulo es de 80 cm. ¿Cuánto mida cada lado y cuál es su área?
PARA SABER MÁS
https://cuntic.files.wordpress.com/2019/04/ecuaciones_1er_grado.pdf
