RELACIONES Y FUNCIONES
Dos conjuntos, magnitudes o variables son dependientes entre sí cuando los valores que toma la primera determinan los valores que toma la segunda y viceversa.
La relación de dependencia entre dos magnitudes, es posible representarla en tablas, gráficas o fórmulas.
RELACIONES EXPRESADAS EN TABLAS.
Para expresar una relación de dependencia entre dos magnitudes por medio de una tabla, se construye ésta organizando la información en filas o columnas. Es importante que se identifiquen las magnitudes a las que se hace referencia.
EJEMPLO. Un pediatra registra la estatura de un niño de acuerdo a su edad:
|
Edad (meses) |
Estatura (cm) |
|
1 |
55 |
|
2 |
57 |
|
3 |
59 |
|
4 |
61 |
|
5 |
64 |
|
6 |
66 |
|
7 |
68 |
RELACIONES EXPRESADAS EN GRÁFICAS.
Para representar una dependencia entre magnitudes por medio de una gráfica se hace uso del plano cartesiano. En el eje horizontal se ubica la variable independiente y en el vertical la variable dependiente. Cada par de valores corresponde a una pareja ordenada, ya que a cada valor de la magnitud situada en el eje X le corresponde un valor en el eje Y.
RELACIONES EXPRESADAS POR FÓRMULAS.
Es muy frecuente expresar la relación de dependencia entre dos magnitudes por medio de una fórmula o expresión algebraica. La fórmula permite calcular el valor de la variable dependiente según los valores que tome la variable independiente.
EJEMPLOS
1.- El perímetro, P, de un cuadrado en función del lado l, viene dado por la expresión: P = 4l
2.- La expresión que nos permite calcular el valor, V, de determinado número, y, de gaseosas, si una vale $ 1000, es.
V = 1000y
3.- Expresar de las diferentes formas, la relación entre el lado, l de un cuadrado y su respectiva área, A.
SOLUCIÓN:
a) Con una tabla.
| Medida del lado (cm) |
Área del cuadrado (cm2) |
|
1 |
1 |
|
2 |
4 |
|
3 |
9 |
|
4 |
16 |
|
5 |
25 |
b) Con una gráfica:
c) Mediante una fórmula.
Como el área, A, de un cuadrado se obtiene al multiplicar la medida de su base, b, por la medida de su altura, h, se puede expresar de la siguiente manera:
A = b(h) = l(l) = l2 luego: A = l2
FUNCIÓN
Una relación entre dos conjuntos X y Y es una función, si cada elemento x del primer conjunto, se asocia como máximo con un elemento y del segundo conjunto.
Para notar una función se utilizan las letras f, g, h..... y se expresan como y = f(x), que se leen “ y es igual a f de x, f(x) representa la imagen o valor que le corresponde a x mediante la función f.
EJEMPLO:
Sean los conjuntos:
X = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Y = { 0, 4, 8, 12, 16, 20}
Se pueden expresar como una tabla:
|
X |
Y |
|
0 |
0 |
|
1 |
4 |
|
2 |
8 |
|
3 |
12 |
|
4 |
16 |
|
5 |
20 |
Obsérvese que para cada elemento de X se le hace corresponder un único elemento de Y. Al conjunto X se le llama dominio de la función y al conjunto Y rango o recorrido de la función.
FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal, es una función de la forma f(x) = mx, donde m es una constante (un número), diferente de cero. El número m, es un número real, es decir, puede ser negativo, o positivo, un fraccionario o decimal.
Una función lineal transforma todos los elementos del dominio, multiplicándolos por un mismo número. La gráfica de una función lineal es una línea recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas.
EJEMPLOS
1.- La función f (x) = 5x, es una función lineal que multiplica a todos los números por 5. Podemos construir su tabla y su gráfica.
|
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
3,5 |
4 |
4,2 |
4,6 |
|
f(x) |
-5 |
0 |
5 |
10 |
15 |
17,5 |
20 |
21 |
23 |
Para graficar una función lineal, debemos dar valores a la variable x, para obtener los valores de la variable f(x). Esto da una serie de parejas ordenadas que se grafican en el plano cartesiano.
2.- Son ejemplos de funciones lineales:
La ley de Hooke que permite calcular el alargamiento de un resorte, f(x) = kx, k es un número que corresponde a la constante de elasticidad del resorte.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1.- De acuerdo con los datos de la siguiente tabla
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
f(x) |
0 |
6 |
12 |
18 |
24 |
a) Construya la gráfica y determine la función
2.- Determine si las siguientes funciones son o no lineales
a) f(x) = –10x b) f(x) = 3/4 x c) f(x) = 4x +3
d) f(x) = 0,5x e) f(x) = x – 4 f) f(x) = x2
3.- Seleccione la tabla que corresponde a la función f(x) = 4/3 x
a)
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
f(x) |
4 |
8/3 |
3/4 |
0 |
-3/4 |
b)
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
f(x) |
- 4 |
-8/3 |
- 4/3 |
0 |
4/3 |
c)
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
f(x) |
-4 |
-2 |
4/3 |
0 |
-4/3 |
d)
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
f(x) |
-13/3 |
-10/3 |
-7/3 |
4/3 |
4/3 |
