En una permutación, el orden de los objetos de cada
posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante,
cada uno de estos resultados se denomina combinación.
Las combinaciones
son arreglos en el que interesa el
número de posibles selecciones n en la muestra de N objetos en la población,
sin importar el orden.
Son ejemplos de combinaciones:
a)
Una ensalada, no importa el orden de los ingredientes
b)
Seleccionar un grupo de personas.
c)
En un campeonato mundial de fútbol, programar los partidos.
d)
Escuchar una clase en un salón.
También hay
dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
- Sin repetición
- Con repetición
1. Combinaciones sin repetición
Las combinaciones sin
repetición de r elementos tomados de n, son los grupos formados por n elementos de manera que:
No importa el
orden, entran todos los elementos o no, y se puede calcular con el coeficiente
binomial:
PARA SABER MÁS:
EJERCICIOS INTERACTIVOS:
Ejemplo
1.- ¿De
cuántas maneras podemos ordenar tres de las 16 bolas de billar?:
16!
|
=
|
16!
|
=
|
20,922,789,888,000
|
= 560
|
3!(16-3)!
|
3!×13!
|
6×6,227,020,800
|
O lo puedes
hacer así:
16×15×14
|
=
|
3360
|
= 560
|
3×2×1
|
6
|
Es
interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:
Con otras
palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas
de 16.
16!
|
=
|
16!
|
=
|
16!
|
= 560
|
3!(16-3)!
|
13!(16-13)!
|
3!×13!
|
Ejercicios para resolver:
1. ¿Cuántos números de exactamente 5
cifras contienen al menos una vez la cifra 3? y ¿Cuántos de ellos contienen
exactamente una vez la cifra 3?
2. Calcula la suma de todos los
números de 9 cifras en los que aparece exactamente una vez cada uno de los
dígitos 1, 2, 3,..., 9.
3. Una compañía tiene 5 directores, y
una caja fuerte guarda los secretos de la compañía. Se quiere poner el mínimo
número de cerraduras que garantice que, dando el mismo número de llaves a cada
director, cualquier mayoría (3 o más) de ellos pueda abrir la caja, y ninguna
minoría (2 o menos) pueda abrirla. ¿Cuántas cerraduras hay que poner y cuántas
llaves recibirán cada directivo?
4. En Colombia, los carros tienen una
matrícula que consta de tres letras, seguidas de tres dígitos¿Cuántas matrículas distintas pueden llegar a
existir?
COMBINACIONES CON REPETICIÓN
Las combinaciones con
repetición de m elementos tomados de n en n
(m ≥ n), son los grupos formados por n
elementos de manera que:
No importa el orden, no
entran todos los elementos, y si se repiten los elementos.
Se calculan con la
expresión:
Ejemplo:
En una pastelería hay 6 tipos distintos
de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles?.
Nota: Si nos gusta un pastel lo podemos pedir hasta cuatro veces.
Estamos en el caso en el que no nos importa el orden en que elijamos los pasteles y podemos repetir, son combinaciones con repetición.
EJERCICIOS DE COMBINATORIA:
1.- Una persona tiene 8 pantalones y 10 camisas, ¿De cuántas maneras se puede vestir?
2.- El seleccionador de la selección colombiana de fútbol tiene 24 jugadores para realizar un partido de fútbol, ¿Cuántas alineaciones puede hacer?
3.- 8 atletas compiten en una carrera y solo pueden clasificar 3. ¿Cuántos grupos pueden clasificar?
4.- ¿Cuántas combinaciones, con y sin repetición se puede hacer con dos letras, de: a, b, c, d., e, f, g?
5.- Una persona descansa 2 días a la semana ¿Cuántas semanas pueden transcurrir sin que se repitan los días de descanso?
1.- Una persona tiene 8 pantalones y 10 camisas, ¿De cuántas maneras se puede vestir?
2.- El seleccionador de la selección colombiana de fútbol tiene 24 jugadores para realizar un partido de fútbol, ¿Cuántas alineaciones puede hacer?
3.- 8 atletas compiten en una carrera y solo pueden clasificar 3. ¿Cuántos grupos pueden clasificar?
4.- ¿Cuántas combinaciones, con y sin repetición se puede hacer con dos letras, de: a, b, c, d., e, f, g?
5.- Una persona descansa 2 días a la semana ¿Cuántas semanas pueden transcurrir sin que se repitan los días de descanso?
