Si tenemos dos sucesos simples A y B, la
probabilidad de la unión de los sucesos A y B es:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(AՈB)
Y la probabilidad del suceso contrario al suceso
A, es decir, la probabilidad de que no ocurra el suceso A, que se simboliza P(Ᾱ)
viene dada por:
P(Ᾱ) = 1 – P(A)
TABLAS DE CONTINGENCIA:
EJEMPLO CON TABLA DE CONTINGENCIA:
PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS
Un experimento compuesto es el que está formado
por sucesos simple, por ejemplo: lanzamiento de un dado normal y una moneda, el
lanzamiento del dado es un experimento simple lo mismo que el lanzamiento de
una moneda.
Un experimento compuesto se clasifica en:
independientes y dependientes o condicional.
Si A y B son eventos independientes, esto
significa que la ocurrencia de un evento no influye en los resultados del otro
suceso, por ejemplo, el lanzamiento de una moneda y un dado, los resultados del
dado no influyen en los resultados de la moneda, se cumple que
la probabilidad de que ocurra A y B es
P(AՈB) = P(A).P(B)
Donde P(B/A) representa la probabilidad de A
condicionada por el evento A
Si A y B son eventos dependientes, cuando los
resultados de un evento influyen o condicionan los resultados del otro, como en la
extracción de una balota después que se ha sacado otra de una urna, el
resultado del segundo suceso, depende o condiciona el resultado del primero, en
este caso se cumple que la probabilidad
de que ocurra A y B es
P(AՈB) = P(A).P(B/A)
Donde P(B/A) representa la probabilidad de A
condicionada por el evento A
Ejemplos ilustrativos
Se tiene una caja con dos tipos de caramelos, 12
de mango y 8 de papaya. Si se saca un caramelo y después otro, halla la probabilidad
de que ambos sean de mango.
SOLUCIÓN
Tenemos dos situaciones, la primera al extraer el
primer caramelo, si no me gusta y lo devuelvo a la caja y saco el otro, y el
otro caso donde si me gusta, me lo como y luego saco otro.
A) Para
el primer caso, donde se extrae un caramelo y se devuelve
a la caja para sacar otro, en este caso el segundo experimento es independiente del primero, porque
hay el mismo número de elementos en la caja y la probabilidad de sacar
cualquier caramelo es la misma, 12/20 para el caramelo de mango y 8/20 para el
caramelo de papaya. En un diagrama de árbol se ilustra en forma sencilla la
situación:
La probabilidad de que ambos sean de mango es:
P(MՈM) = P(M).P(M)) = (12/20)(12/20) = 144/400 = 9/25 = 0.36 = 36%
i)
Si me piden en este caso la probabilidad de que uno sea
de mango y el otro de papaya, la probabilidad es:
P(MՈP) = P(M).P(P)) = (12/20)(8/20) = 96/400 = 6/25 = 0.24 = 24%
ii)
Si me piden la probabilidad de que al extraer los dos
caramelos no saque mango, sería:
Si llamamos A al suceso que
sea mango, su probabilidad es P(A), entonces que no sea mango sería, Ᾱ y su
probabilidad es:
P(Ᾱ) = 1 – P(A)
P(Ᾱ) = 1 – 9/25 = 16/25 = 0.64 = 64%
Si calculamos la probabilidad con decimales es:
P(Ᾱ) = 1– 0.36 = 0.64 = 64%
Si la calculamos con porcentajes es:
P(Ᾱ) = 1– 36% = 100% – 36% = 64%
En todos los casos el resultados es el mismo, ¡como
debe ser!.
B) Para el primer caso, donde
se extrae un caramelo y no se devuelve a la caja para sacar otro, en este
caso el segundo experimento es dependiente
del primero, ya que el resultado del segundo experimento depende o está
condicionado por el resultado del primer experimento, en este caso, en el
primer suceso la probabilidad de sacar cualquier caramelo es , 12/20 para el
caramelo de mango y 8/20 para el caramelo de papaya, pero en el segundo
experimento, como no se devuelve, quedan 19 caramelos y las probabilidades
varían. En un diagrama de árbol se ilustra en forma sencilla la situación:
Ahora la probabilidad de que ambos sean de mango
es:
P(MՈM) = P(M).P(M/M)) = (12/20)(11/20) = 132/400 =
33/100 = 0.33 = 33%
Si me hubiesen pedido la probabilidad de que el
primero fuera de papaya y el segundo de mango, la probabilidad sería:
P(YՈM) = P(P).P(M/P)) = (8/20)(12/19) = 96/400 = 6/25 = 0.24 = 24%
EJEMPLOS DE EVENTOS COMPUESTOS PARA
RESOLVER
1:- Se lanzan tres dados cúbicos.
Hallar la probabilidad:
a)
De obtener
tres 5
b)
De obtener un
dos y 2 cuatros
c)
De no obtener
tres cinco
2.- En un armario hay, 10 camisas
rojas y cuatro blancas, hallar la probabilidad de:
a) sacar dos camisas rojas
b) sacar una roja y una blanca
c) no sacar camisas rojas
3.- Una caja contiene 25 caramelos de
limón, y 15 de menta. Se extraen dos caramelos al azar. Hallar la probabilidad
de que el primero sea de menta y el segundo de limón, en el caso que no se
devuelva el primer dulce y en el caso donde se devuelve el primer dulce.