En
un triángulo rectángulo podemos establecer las razones o cocientes entre sus
lados. Para el triángulo rectángulo que se muestra a continuación tenemos sus
elementos:
La
hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto, es el lado más largo del triángulo
rectángulo; los catetos son los lados que forman el ángulo recto, los ángulos
se nombran con letras mayúsculas y los
lados se nombran con la misma letra, pero minúscula, de acuerdo al ángulo
opuesto.
Las
razones trigonométricas se definen con respecto a un ángulo agudo, en tal caso los catetos se designan de la siguiente
manera: el cateto que está al frente del ángulo se denomina cateto opuesto, el
cateto que forma el ángulo, se denomina cateto adyacente, como se muestra.
Las tres primeras razones trigonométricas para el ánguloA,
llamado en este caso ángulo α son:
Seno del ángulo A = sen A = cateto
opuesto / hipotenusa = a / b
Coseno del ángulo A = cos A =
cateto adyacente / hipotenusa = c / b
Tangente del ángulo A = tan A =
Cateto opuesto / cateto adyacente = a / c
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
1.- Hallar las razones
trigonométricas del ángulo A de la figura siguiente
SOLUCIÓN:
Sen A = a / c = 3 cm / 5 cm = 0.6
Cos A = b / c = 4 cm / 5 cm = 0.8
Tan A = a / b = 3 cm / 4 cm = 0.75
2.- Para el triángulo de la figura
anterior, calcular las razones trigonométricas del ángulo B.
SOLUCIÓN:
Sen B = b / c = 4 cm / 5 cm = 0.8
Cos B = a / c = 3 cm / 5 cm = 0.6
Tan B = b / a = 4 cm / 3 cm = 1.33
3.- Hallar las razones
trigonométricas del ángulo M de la figura
SOLUCIÓN:
Para calcular las razones
trigonométricas del ángulo M debemos conocer los valores de los lados, como no
conocemos un cateto, aplicamos el
teorema de Pitágoras para hallarlo:
P2 = m2 +
c2 despejando c:
c2 = p2 – m2 reemplazando valores
c2 = (15 cm)5
– (9 cm) = 225 cm2 – 81 cm2 = 144 cm2 sacando raíz cuadrada.
c = 12 cm
Ahora si calculamos las razones
trigonométricas:
Sen M = m / p = 9 cm / 15 cm = 0.6
Cos M = c / p = 12 cm / 15 cm = 0.8
Tan M = m / c = 9 cm / 12 cm =
0.75
4.- Para el triángulo que se
muestra, hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo de menor amplitud.
SOLUCIÓN:
Sabemos que a menor lado, menor
ángulo, por tanto, el ángulo al que se refieren es el ángulo A.
Sen A = a / c = 8 m / 17 m = 8/17
Cos A = b / c = 15 m / 17 m = 15/17
Tan A = a / b = 8 m / 15 m = 8/15
5.- En el siguiente triángulo, si
sen A =1/2 encontrar las demás razones trigonométricas del ángulo A:
Solución:
Como el seno del ángulo A es a/c =
5m/c = 1/2 , el valor de c se encuentra con la proporción
1/2 = 5 /c donde se obtiene c = 10 m. Por el teorema de Pitágoras hallamos el valor del lado b,
b = 8.66 m.
1/2 = 5 /c donde se obtiene c = 10 m. Por el teorema de Pitágoras hallamos el valor del lado b,
b = 8.66 m.
Las razones trigonométricas son:
Sen A = a / c = 5 m / 10 m = 0.5
Cos A = b / c = 8.66 m / 10 m = 0.866
Tan A = a / b = 5 m / 8.66 m = 0.577
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
A partir de la definición de las
razones trigonométricas en un triángulo rectángulo, se pueden deducir algunas
propiedades.
1.- Los valores del seno y del
coseno de un ángulo agudo A, están entre
cero y uno, es decir:
0 < sen A < 1 y 0 < cos A < 1
Esto se debe a que la medida de la
hipotenusa es mayor que la medidad de los catetos.
2.- El valor de la tangente de un ángulo
B, es el cociente entre su seno y su coseno, simbólicamente:
Tan B = sen B / cos B
Esta propiedad se puede deducir fácilmente,
ya que para el triángulo de la figura se
tiene:
Sen B = b/c , cos B = a/c , tan B = b/a
Sen B / cos B = (b/c) / (a/c)
= bc/ac = b/a = tan B
Por tanto la tangente de un ángulo se puede escribir en función
del seno y del coseno del ángulo.
EJERCICIOS PARA RESOLVER:
1.- Halla las razones trigonométricas para el ángulo
A
2.- Halla las razones trigonométricas
para el ángulo α y luego para el ángulo β, que se muestran
3.- Si sen 60º es √3 ⁄ 2, ( raíz de tres sobre dos), calcula el valor de la escalera que se muestra
en la figura y el valor de las otras razones trigonométricas.
4.- Si cos 75º = 0.26, encuentra
elal altura de la torre y el valor de las demás razones trigonométricas.
5.- En cada caso encuentra las
razones trigonométricas que faltan si en cada caso se tiene un triángulo rectángulo
a) sen θ = 1 /5
b) cos θ = 3 /4
c) tan θ = 3
d) tan θ = 5/3
e) cos = 1/3
PARA SABER MÁS:
