Mediante este espacio pretendo apoyar la apropiación de estas dos fascinantes áreas del conocimiento por parte de mis estudiantes. Busco que adquieran una comprensión global de ellas y vean lo fáciles y sencillas que son cuando se les conoce.
"Quien descuida aprender en su juventud, pierde su pasado y muere para el futuro" Eurípides. Pensador griego.
Así como hay una
cantidad de movimiento lineal, existe una cantidad de movimiento angular. Una de
las principales magnitudes de la fisica es el momento angular. Es la cantidad
de movimiento asociado a un objeto que realiza una rotación alrededor de un punto
fijo.
Se define momento
angular de una partícula de masa m con velocidad v, respecto de un punto O, como el producto
vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv
L
= rxmv
La unidad de medida del
momento angular en el S.I. es kgm2/s
En términos de la
cantidad de movimiento lineal, p, el momento angular es
L
= rxp
El momento angular
corresponde al producto vectorial o producto cruz del vector posición, r y el
vector cantidad de movimiento lineal, p, su magnitud viene dada por:
L
= rmvsenӨ
La dirección del
momento angular viene dada por la regla de la mano derecha, de aquí vemos que
el vector momento angular es perpendicular al plano formado por los vectores r
y p.
El momento de inercia (símbolo I) es una
medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo de masa m, gira en torno a uno de los ejes principales, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia,se define como:
I = mR2
Donde R es la distancia perpendicular al eje de
rotación, el momento de inercia se mide en kg.m2
El momento de inercia refleja la distribución de
masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en en rotación , respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la
posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el
movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento lineal,
excepto porque se define en relación con determinado eje. Del mismo modo que la
masa mide la resistencia de un cuerpo a cambios de velocidad, el momento de inercia mide la resistencia de un objeto a cambiar su velocidad angular.
De
manera parecida a la conservación del momento lineal, que expresa, que el
cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo en el tiempo es equivalente a
la fuerza neta actuando sobre él, y si el momento lineal no cambia, es cero, se
conserva. Así mismo podemos enunciar el cambio de momento angular, si el
momento angular cambia es porque existe un torque neto actuando sobre el
cuerpo, y su velocidad angular cambia.
El
principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las
fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean
cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es
decir, permanece constante.
Cuerpos homogéneos o
uniformes: Un cuerpo es homogéneo o uniforme, cuando al dividirlo en pequeñas
partes de igual tamaño, todas tienen el mismo peso, cuando esto sucede el centro
de gravedad coincide con el centro geométrico. En todos los cuerpos, el centro
de gravedad se encuentra más cerca de la zona de mayor concentración de masa.
En un cuerpo homogéneo es
muy importante el concepto de densidad lineal de masa (masa por unidad de
longitud ), ( M/L)
Hemos visto que cuando se
le aplica una fuerza a un cuerpo, éste se puede acelerar o girar, aunque en
ambos casos está acelerado, sobre él actúa una fuerza neta, de acuerdo a la
primera ley de Newton.
Para un cuerpo rígido, se
tiene dos condiciones que debe cumplir para encontrarse en equilibrio:
1.- Que la fuerza neta
que actúa sobre el cuerpo sea cero
2.- Que el torque neto,
es decir, la suma de los torques, con respecto a un eje de rotación, sea igual
a cero.
GRÁFICAS DONDE SE CUMPLEN LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO:
En la figura a), se tiene
una barra de longitud l, de peso w y que puede girar alrededor de un
pivote en el punto O. Si se le aplica en el extremo una fuerza F, la barra giraría en dirección contraria
a las manecillas del reloj, torque positivo, para que se mantenga en
equilibrio, debe existir una fuerza, F´, como muestra la figura b) para que
el torque de ésta fuerza que es negativo, equilibre el torque producido por el
peso y la fuerza F y además, se
cumpla que la suma de las tres fuerzas sea igual a cero.
PARA SABER MÁS: Explora este enlace y analiza los ejemplos que alli se muestran
1.- Una tabla uniforme, de 4 m de largo y peso 200 N
está sujeta por uno de sus extremos a una pared vertical en el punto O y el
otro extremo está atada al techo por medio de una cuerda que forma un ángulo de
30º con la horizontal, como se muestra en la figura a). Un hombre de 600 N de
peso está parado a 30m de la pared.
Determina:
a) La tensión que soporta la cuerda
b) la fuerza ejercida por el pivote O sobre la
barra.
Solución:
a)En
la figura b) se muestran las fuerzas que actúan sobre la barra:
El pivote O ejerce una fuerza F con componentes Fy para evitar que la tabla caiga y Fx para evitar que la tabla se aleje de la pared, el
peso de la tabla ubicado en el centro de gravedad, Ftabla, el hombre ejerce una fuerza sobre la tabla
equivalente a su peso, Fhombre,
la cuerde ejerce la fiera de tensión, T,
que forma un ángulo de 30º con la horizontal por ser ángulos alternos internos,
la tensión tiene también dos componentes una horizontal y una vertical.
Como la
tabla se encuentra en equilibrio, una de las condiciones que debe cumplir es
que la suma de los torques con respecto a cualquier punto sea cero, se puede
elegir como punto de referencia para calcular los torques cualquier punto de un
objeto en equilibrio estático, ya que ningún punto del objeto se mueve con
respecto a otro, debido a que es un
cuerpo rígido.
Si elegimos
como punto de referencia para calcular los torques el pivote O, facilita los
cálculos puesto que no conocemos el valor de F y además, con esta elección el torque
de la fuerza F es cero, porque en este caso r, es cero. De lo anterior,
tenemos:
0– l/2(peso de la tabla) – (3 m)(peso del
hombre) + l(T)sen30º = 0
– 4m/2(200N) – (3
m)(600N) + (4 m)(T)(0.5) = 0
De donde se obtiene que T =
1100 N
La tensión que soporta la
cuerda es de 1100 N
a)De
acuerdo a la segunda condición de equilibrio, la suma de las fuerzas debe ser
cero, como la tabla se mantiene en equilibrio, la suma de las cuatro fuerzas es
cero.
Para hallar
la fuerza Fque ejerce el pivote,
vamos a descomponer cada fuerza en componentes rectangulares:
La
tensión tiene dos componentes:
Tx
= T cos 30º = 1100N cos 30º = 952.6 N
Ty
= T sen 30º = 1100 N sen 30º = 550N
El peso
de la tabla tiene solo componente en el eje e igual a su peso, negativo.
El peso
del hombre tiene solo componente a lo largo del eje e igual a su peso, negativo
La fuerza
del pivote tiene dos componentes que se muestran, Fx y Fy
Sumando las
fuerzas, componente a componente, obtenemos la fuerza neta:
F= (Fx , Fy)
Ftabla= (0, –200N)
Fhombre= (0, – 600N)
T = (952.6 N, 550N)
Fneta
= (Fx + 952.6N , – 250N + Fy ) = (0, 0) Está en equilibrio traslacional
Luego Fx
= – 952.6NFy
= 205 N
La
magnitud de la fuerza F por el teorema de Pitágoras:
F2
= (– 952.6N)2 + (
205N)2
F = 984N
La
dirección de la fuerza F aplicada sobre el pivote O es:
tan α = (250N)/(952.6N)
= 0.26
α = 14.7º
La fuerza ejercida por el pivote en el punto O, tiene una magnitud de 984 N y una dirección de 14.7º con el eje x hacia la izquierda, esta es la reacción del pivote, por eso el sistema está en equilibrio.
2.- Un
camión tiene una anchura de 2 m y su centro de masas está a 1.50 m de
altura. Determinar qué velocidad máxima debe llevar para no volcar en una curva
de radio 30 m.
Las
fuerzas de rozamiento, Fr, no ejercen ningún momento respecto al punto O.
Para que
el camión no vuelque el momento del peso, W, respecto al punto O debe ser mayor
que el momento de la fuerza centrífuga, Fc:
τ o(W) =τ o(Fc)
W.d /2sen 90º =Fc.h sen
90º
W.d /2 =Fc.h
m.g.d /2=m.v2.h /R
v2 = g.d.R /(2.h)
v = [ g.d.R /(2.h)]1/2
En este caso:
v = [ (9.8m/s2)(2m)(30m)
/2(1.5m)]1/2
v = 14 m /s
El
resultado no depende de la masa del camión pero si de su anchura y de la
posición del centro de masas.
3.- Una
puerta de 2 m de alto por 1 m de ancho tiene una masa de 20 Kg. Tiene dos
bisagras en un lateral situadas a 20 cm de los extremos, cada una de ellas
sostiene el mismo peso. Determinar las reacciones de las bisagras.
Si está
en equilibrio la suma de todas las fuerzas debe ser cero:
Ax = Bx
Ay + By = W
Si cada
bisagra sostiene el mismo peso:
Ay = By = W/2 = 20kg
(9.8m/s2) /2 =98 N
Por estar
en equilibrio la suma de momentos respecto a cualquier punto es cero. Sean d la
separación de las bisagras y a la
anchura de la puerta:
Respecto a la bisagra A: Bx.d
= W.a/2
Respecto a la bisagra B: Ax.d
= W.a/2
Ax = Bx = mg.a / (2.d)
Ax = Bx = 20kg (9.8m/s2).(1m)
/ 2(1.6m)
Ax = Bx =61.25 N
La
reacción total en cada bisagra tiene el sentido expresado en el dibujo y sus
módulos serán:
A = B = [(61.25N)2 + (98N)2)1/2
= 115.57 N
θ = arc tg (Ay / Ax)
θ = arc tg ( 98 N / 61.25 N) = 58º
4.- Una
regla uniforme de 1 m de longitud y masa 60 gramos tiene a 12 cm de un extremo
una masa añadida de 10 gramos. Determinar a qué distancia mantendrá el
equilibrio sobre el filo de una navaja.
