Matemáticas y Física : RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

sábado, 4 de noviembre de 2017

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

En un triángulo rectángulo podemos establecer las razones o cocientes entre sus lados. Para el triángulo rectángulo que se muestra a continuación tenemos sus elementos:

La hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto, es el lado más largo del triángulo rectángulo; los catetos son los lados que forman el ángulo recto, los ángulos se nombran con letras mayúsculas y los lados se nombran con la misma letra, pero minúscula, de acuerdo al ángulo opuesto.

Las razones trigonométricas se definen con respecto a un ángulo agudo, en tal caso los catetos se designan de la siguiente manera: el cateto que está al frente del ángulo se denomina cateto opuesto, el cateto que forma el ángulo, se denomina cateto adyacente, como se muestra.

Las tres primeras razones trigonométricas para el ánguloA, llamado en este caso ángulo α son:

Seno del ángulo A = sen A = cateto opuesto / hipotenusa = a / b

Coseno del ángulo A = cos A = cateto adyacente / hipotenusa = c / b

Tangente del ángulo A = tan A = Cateto opuesto / cateto adyacente = a / c

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

1.- Hallar las razones trigonométricas del ángulo A de la figura siguiente

SOLUCIÓN:

Sen A = a / c = 3 cm / 5 cm = 0.6

Cos A = b / c = 4 cm / 5 cm = 0.8

Tan A = a / b = 3 cm / 4 cm = 0.75

2.- Para el triángulo de la figura anterior, calcular las razones trigonométricas del ángulo B.

SOLUCIÓN:

Sen B = b / c = 4 cm / 5 cm = 0.8

Cos B = a / c = 3 cm / 5 cm = 0.6

Tan B = b / a = 4 cm / 3 cm = 1.33

3.- Hallar las razones trigonométricas del ángulo M de la figura

SOLUCIÓN:

Para calcular las razones trigonométricas del ángulo M debemos conocer los valores de los lados, como no conocemos un cateto, aplicamos el teorema de Pitágoras para hallarlo:

P² = m² +c² despejando c:

c² = p² – m² reemplazando valores

c² = (15 cm)⁵ – (9 cm) = 225 cm² – 81 cm² = 144 cm² sacando raíz cuadrada.

c = 12 cm

Ahora si calculamos las razones trigonométricas:

Sen M = m / p = 9 cm / 15 cm = 0.6

Cos M = c / p = 12 cm / 15 cm = 0.8

Tan M = m / c = 9 cm / 12 cm = 0.75

4.- Para el triángulo que se muestra, hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo de menor amplitud.

SOLUCIÓN:

Sabemos que a menor lado, menor ángulo, por tanto, el ángulo al que se refieren es el ángulo A.

Sen A = a / c = 8 m / 17 m = 8/17

Cos A = b / c = 15 m / 17 m = 15/17

Tan A = a / b = 8 m / 15 m = 8/15

5.- En el siguiente triángulo, si sen A =1/2 encontrar las demás razones trigonométricas del ángulo A:

Solución:

Como el seno del ángulo A es a/c = 5m/c = 1/2 , el valor de c se encuentra con la proporción

1/2 = 5 /c donde se obtiene c = 10 m. Por el teorema de Pitágoras hallamos el valor del lado b,

b = 8.66 m.

Las razones trigonométricas son:

Sen A = a / c = 5 m / 10 m = 0.5

Cos A = b / c = 8.66 m / 10 m = 0.866

Tan A = a / b = 5 m / 8.66 m = 0.577

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

A partir de la definición de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo, se pueden deducir algunas propiedades.

1.- Los valores del seno y del coseno de un ángulo agudo A, están entre cero y uno, es decir:

0 < sen A < 1 y 0 < cos A < 1

Esto se debe a que la medida de la hipotenusa es mayor que la medidad de los catetos.

2.- El valor de la tangente de un ángulo B, es el cociente entre su seno y su coseno, simbólicamente:

Tan B = sen B / cos B

Esta propiedad se puede deducir fácilmente, ya que para el triángulo de la figura se tiene:

Sen B = b/c , cos B = a/c , tan B = b/a

Sen B / cos B = (b/c) / (a/c) = bc/ac = b/a = tan B

Por tanto la tangente de un ángulo se puede escribir en función del seno y del coseno del ángulo.

EJERCICIOS PARA RESOLVER:

1.- Halla las razones trigonométricas para el ángulo A

2.- Halla las razones trigonométricas para el ángulo α y luego para el ángulo β, que se muestran

3.- Si sen 60º es √3 ⁄ 2, ( raíz de tres sobre dos), calcula el valor de la escalera que se muestra en la figura y el valor de las otras razones trigonométricas.