Es una técnica de conteo en la cual es importante el orden en el que se escriben los elementos del espacio muestral.
Una permutación de un conjunto de elementos, es un
ordenamiento específico de todos o algunos elementos del conjunto, facilita el
recuento de las ordenaciones diferentes que pueden hacerse con los elementos
del conjunto donde es importante el orden.
Hay dos tipos de permutaciones:
- Sin repetición
- Con repetición:
1.
Permutaciones
sin repetición
Si no se repiten los elementos, si se quiere tomar una muestra de n
elementos, para la conformación del primer elemento se tiene n posibilidades de
la población, para la elección del segundo elemento se tienen (n-1)
posibilidades, pues no existen repeticiones, para la tercera elección se tiene
(n-2) posibilidades y así sucesivamente, esto equivale a n!( Factorial
de n).
Se nota nPn = n!
Por ejemplo
¿Cómo podrías ordenas las 16 bolas de billar?
Después de
elegir una bola no la puedes tomar otra
vez
Así que tu
primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15
posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14
× 13 ... = 20,922,789,888,000
Así que si
quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! =
20,922,789,888,000
EJEMPLOS:
1.- Se
quiere conocer el conjunto de todas las disposiciones posibles de tres personas
colocadas en hilera para tomar una fotografía.
3P3
= 3! = 6
2.- Cinco
personas desean nombrar un Comité Directivo compuesto de un presidente, un
vicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas maneras hay de
constituir el
Comité?
5P5
= 5! = 120
3.- Hay
seis banderas de distintos colores. ¿Cuántas señales diferentes se pueden
enviar usando las seis banderas al mismo tiempo?
6P6
= 6! = 720
4.- ¿Cuántas
permutaciones existen para las ocho letras a, b, c, d, e, f, g, h?
8P8
= 8! = 40.320.
5.- ¿Cuántas de las
permutaciones de (a) comienzan con la letra a?
7P7
= 7! = 5.040.
6.- ¿Cuántas de las
permutaciones de (a) comienzan con la letra a y terminan con la letra c?
6! = 720.
7.- . Dadas las letras a, b, c , existen seis formas de
disponerlas:
3P3
= 3! = 3.2.1 = 6.
Las
seis permutaciones son:
a
b c, a c b, b a c, b c a, c a b, c b a
8.- ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las
letras de la palabra IMPUREZA?
Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:
Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:
8 ´ 7
´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 40320
NÚMERO DE PERMUTACIONES, r DE UN TOTAL n. También llamadas variaciones
Cuando queremos seleccionar un grupo de elementos r, de un total de n elementos, el número de permutaciones es:
Que se lee.
El número de permutaciones sin repetir tomando r elementos de un total de n
elementos
Donde n el número total de elementos para elegir, y r el número de elementos que se toman (sin repetir, el orden
importa!!). Se le llama también variaciones.
Esta fórmula es general y con ella podemos calcular las permutaciones
cuando se tomen todos los n elementos,
ya que el denominador sería igual (n - n)! = 0! = 1, quedando n!
EJEMPLOS:
1.- Jaguares,
América, nacional y Cali están disputando los dos cupos a la copa libertadores.
El campeón juega en un grupo y el subcampeón en otro. ¿Cuántas posibilidades de
clasificación existen?
De 4
elementos del conjunto se van a seleccionar 2, como el orden importa, esto
corresponde a una permutación sin repetición de 2 elementos de un conjunto de 4
elementos.
n = 4
r = 2
nPr
= n!/ (n-r)!
4P2
= 4!/ (4-2)! = 4!/2! = x2x3x4/1x2 = 12
posibilidades
2.- Por
ejemplo: se desea seleccionar 3 bolas de billar de las 16 del conjunto, 16P3
=
16!
|
=
|
16!
|
=
|
20,922,789,888,000
|
= 3360
|
(16-3)!
|
13!
|
6,227,020,800
|
3.- ¿De
cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
Las
posibilidades son 10P2 =
10!
|
=
|
10!
|
=
|
3,628,800
|
= 90
|
(10-2)!
|
8!
|
40,320
|
(que es lo
mismo que: 10 × 9 = 90)
2. Permutaciones con repetición
Si se tienen n elementos para elegir
y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n
posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para
la segunda elección, y así.)
Por
ejemplo: ¿Cuántos números de la lotería, de tres cifras se pueden escribir con los números
dígitos?
Como
el orden es importante tenemos una permutación de 3 elementos de un total de
10:
103
= 1000 posibilidades
PERMUTACIONES CON GRUPOS DE ELEMENTOS
REPETIDOS
Cuando
en los n elementos existen elementos
repetidos, uno a veces, otro b veces y otro c veces, la cantidad de permutaciones existentes corresponde a:
PRna,b,c
= n! /a!b!c!
EJEMPLO:
Existen
tres libros de aritmética, dos de geometría, uno de álgebra y uno de
estadística. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar estos libros en un estante?
Como
existen elementos repetidos, tenemos:
PRna,b,c
= n! /a!b!c!
PR7 3,2,1,1
= 7! / 3!2!1!1! = 5040/12 = 420
maneras distintas de ordenar
los libros.
EJERCICIOS INTERACTIVOS:
EJERCICIOS RESUELTOS:
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