miércoles, 23 de agosto de 2017

CANTIDAD DE MOVIMIENTO


El concepto cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum, p es muy importante en física, ya que involucra dos elementos fundamentales de una partícula: su masa y su velocidad.


Todo cuerpo tiene una cantidad de movimiento o momentum lineal o ímpetu, definida como el producto de su masa, m,  por su velocidad, v.
p = mv

La dirección del vector cantidad de movimiento coincide con la dirección del vector velocidad.


Gráfica tomada el día 29 de junio de 2020 de: https://www.fisicalab.com/apartado/cantidad-movimiento


La unidad de medida del movimiento lineal en el S. I. es kgm/s
 

CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA  DE PARTÍCULAS

La cantidad de movimiento de un sistema de partículas corresponde a la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas individuales.







SIMULACIÓN: VARÍA LA MASA Y LA VELOCIDAD DE CADA ELEMENTO. APRENDE !!!!!
http://www.educaplus.org/game/cantidad-de-movimiento

EJEMPLOS DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

1.- En una mesa de billar, tres bolas, cada una de masa 0.5kg, están moviéndose con las velocidades que se muestran en la figura. 

Si en un instante determinado, las velocidades son v1 = 2m/s, v2 = 1m/s y v3 = 1m/s.
Determinar la cantidad de movimiento total del sistema

Solución:
La cantidad de movimiento de la bola 1 es: p1 = mv1 = (0.5 kg) (2m/s)j = 1 kgm/s j

La cantidad de movimiento de la bola 2 es: p2 = mv2 = (0.5 kg) (1m/s)( –j )= – 0.5kgm/s j

La cantidad de movimiento de la bola 1 es: p3 = mv3 = (0.5 kg) (1m/s)j = 0.5 kgm/s i

Como el momentum de la bola 1 y de la bola 2 están sobre el eje y, debemos hallar la resultante de la cantidad de movimiento en esa dirección que llamamos py
 
py = p1 + p2         luego: py = 1 kgm/s j – 0.5 kgm/s j = 0.5 kgm/s j

Para hallar la magnitud de la cantidad de movimiento resultante del sistema formado por las tres bolas, pR, aplicamos el teorema de Pitágoras:

(PR)2 = (p1)2 + (py)2 = (1 kgm/s)2 + (0.5 kgm/s)2 = 1.25 (kgm/s)2    de donde, la magnitud del ímpetu resultante es:
PR = 1.118 kgm/s

La dirección del momentum resultante la hallamos aplicando:
 β = Arc tan (py/ p1) = Arc tan (0.5/1)   de donde  β = 26.56°

2.- Considere el sistema formado por un camión de masa m1 = 8x103 kg y un automóvil de masa m2 = 2x102 kg. Si ambos se mueven con velocidades de 72km/h.  Determine la cantidad de movimiento para este sistema en los siguientes casos:

a) Para el camión y el auto por separado

Solución:
Primero convertimos los km/h en metros por segundo

72 km/h = 72000 m/ 3600 s = 20 m/s

La cantidad de movimiento del camión p1 es:

p1 = m1v1 = 8x103kg (20m/s) = 1.6 x104 kgm/s

La cantidad de movimiento del auto es:

p2 = m2v2 = 2x102kg (20m/s) = 4 x103 kgm/s

b) Si el camión y el auto se mueven en la misma dirección

La cantidad de movimiento del sistema es: p = p1 + p2

P = 1.6 x104 kgm/s (i) + 4 x103 kgm/s(i) = 2x104 kgm/s (i)

a)      Si el camión y el auto se mueven en direcciones contrarias

Consideremos que el camión se mueve hacia la derecha y el auto hacia la izquierda, en ese caso la cantidad de movimiento del sistema es:

p = p1 + p2 = 1.6 x104 kgm/s (i) + 4 x103 kgm/s(–i) = 1.2x104 kgm/s (i)

3.- Sobre una mesa horizontal se encuentran tres esferas de acero, A, B y C, cuyas  masas son mA = 2kg, mB = 0.5 kg y mC = 2 kg. En un instante dado las esferas poseen las velocidades que se muestran en la figura. 

Para dicho instante:
a) Calcule las cantidades de movimiento de cada esfera.
b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento del sistema formado por las esferas A y B?
c) ¿Cuál es la cantidad de movimiento del sistema formado por las esferas  B y C?
d) ¿Cuál es la cantidad de movimiento del sistema formado por las tres esferas?

IMPULSO MECÁNICO

El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una magnitud vectorial. El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt.

I = FΔt

I = Impulso

F = Fuerza

Δt = Instante de tiempo que actúa la fuerza

Unidad de impulso

El impulso se mide en kg·m/s, una unidad equivalente a N·s.

RELACIÓN ENTRE IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento, por lo tanto el impulso también puede calcularse como:

I = Δp

I = Impulso [kg·m/s]

Δp = Variación de la cantidad de movimiento [kg·m/s]

Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de la masa:

I = FΔt = Δp

F = Fuerza [N]

Δt = Intervalo de tiempo [s]

Δp = Variación de la cantidad de movimiento [kg·m/s]

Partiendo de la segunda ley de Newton, podemos establecer la relación entre el impulso, I, y el cambio en la cantidad de movimiento, Δp.


La ecuación que corresponde a la definición de Newton para la fuerza F es:

F =  Δp/Δt

Esta ecuación  se debe al matemático suizo Leonard Euler

 

 Esta ecuación es muy importante y tiene muchas aplicaciones prácticas, en los circos o los bomberos colocan redes para que cuando una persona se tire o caiga de una altura dada la persona no se haga tanto daño, ya que el intervalo de tiempo se hace grande y la fuerza neta es pequeña; cuando se quiere proteger algo delicado se coloca entre icopor o papel periódico, buscando un intervalo grande lo que se traduce en una fuerza pequeña.



SIMULACIÓN:  En el siguiente enlace, observe que inicialmente la nave está en reposo, su velocidad es cero, mantenga presionado  el botón impulso para darle a la nave la velocidad que usted prefiera. ¿Cómo es el movimiento de la nave después que usted lo impulsa? ¿Es MRU o MRUA? Justifique.




CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

El principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal, es muy importante en física y se enuncia de la siguiente manera: La cantidad de movimiento de un sistema aislado permanece constante. Cuando un sistema está aislado es porque la fuerza externa es cero.


Esto es, si la fuerza externa es cero, el momento inicial es igual al momento final, es decir, no cambia, permanece constante, se conserva.

Colisiones

Cuando dos o más cuerpos se aproximan entre sí, entre ellos actúan fuerzas internas que hacen que su momento lineal y su energía varíen, produciéndose un intercambio entre ellos de ambas magnitudes. En este caso se dice que entre los cuerpos se ha producido una colisión o choque. Es preciso recalcar que, para que se produzca una colisión, no es necesario que los cuerpos hayan estado físicamente en contacto en un sentido microscópico; basta que se aproximen lo suficiente como para que haya habido interacción entre ellos

La característica fundamental de una colisión es que las fuerzas que determinan lo que ocurre durante la misma son únicamente fuerzas internas (de interacción entre los distintos cuerpos que colisionan).

Un ejemplo típico es el choque de dos bolas de billar. Durante el breve periodo de colisión, cada partícula se contrae elásticamente una pequeña cantidad, para acto seguido volver a expandirse, saliendo cada bola despedida en la misma dirección o en una dirección diferente. Otro ejemplo similar es el choque de una pelota de tenis contra una raqueta o una superficie rígida.

Al considerar una colisión no nos interesa tanto el qué ocurre durante la colisión, sino la relación entre el estado de las partículas antes y después de la colisión. Lo que interesa es averiguar si las interacciones conservarán la cantidad de movimiento o no.

Choque elástico

Un choque elástico es aquél en que solo intervienen las fuerzas internas, esto implica que la cantidad de movimiento se conserva, cuando esto no sucede se dice que el choque o colisión es inelástica.

Con simulación:
 
 
 


SIMULACIÓN:



EJERCICIOS RESUELTOS  SOBRE CONSERVACIÓN  DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

1.-Un fusil de 4.5 kg de masa dispara una bala de 20g, imprimiéndole una velocidad de 200m/s. ¿Con qué velocidad retrocede el fusil?



Solución:
De acuerdo al principio de conservación de la cantidad de movimiento, el momentum antes es igual al momentum después: pantes  = pdespués

Antes del disparo, la cantidad de movimiento del sistema fusil-bala estaba en reposo, luego:
 pantes  = 0

Después del disparo, la cantidad de movimiento es 

Pdespués = pfusil + pbala = mfusil(velocidad del fusil) + mbala(velocidad de la bala) 

Pdespués = 4.5 kg(v) + 0.02 kg(200m/s) = 4.5kg(v) + 4kgm/s

Como pantes  = pdespués

4.5kg(v) + 4kgm/s = 0      despejando v, tenemos:

V = – (4kgm/s)/4.5 kg  = – 0.89 m/s. Esta es la velocidad de retroceso del fiusil


2.- La fuerza que actúa sobre el cuerpo de la figura es de 4 N durante un intervalo de tiempo de 6s.

a)      ¿Qué impulso recibe el cuerpo?

Solución
El impulso viene dado como I =  FΔt, luego 

I = 4N (6s) = 24 Ns      La dirección del impulso es la misma de la fuerza

b)      Si la cantidad de movimiento inicial del cuerpo era de 16 kgm/s ¿Cuál será el valor de la cantidad de movimiento al final del intervalo de tiempo considerado?

Solución
Como el impulso también viene dado como el cambio en la cantidad de movimiento, tenemos:

I = Δ
I = pf po    de donde: pf  = I + po = 24Ns + 16 kgm/s (s/s)

pf = 24Ns + 16Ns = 40Ns
Podemos apreciar que la cantidad de movimiento se pude de expresar como Ns

3.- Una pelota de tenis de 100g de masa y velocidad de v1 = 10 m/s, es devuelta por un jugador, impulsándola con una velocidad v2, del mismo valor, pero dirección contraria a v1.

a) ¿Cuál es la variación de la cantidad de movimiento?

Solución
La cantidad de movimiento inicial es: po =   mv1 = 0.1 kg(10m/s) = 1 kgm/s

La cantidad de movimiento final será: pf =  – mv2 =  0.1 kg(10m/s) = – 1 kgm/s

El cambio en la cantidad de movimiento es:    Δp = pf po  =   – 1 kgm/s – 1 kgm/s = – 2 kgm/s

c)      ¿Cuál fue el impulso recibido por la pelota de tenis?

Solución:
Impulso es igual al cambio en la cantidad de movimiento, luego el impulso recibido por la pelota es: 

I = Δp = – 2 kgm/s

d)      Si el tiempo de contacto de la pelota con la raqueta es de 0.01s, ¿Cuál es el valor de la fuerza aplicada por el jugador?

Solución
 
Como el impulso es igual a I =  FΔt = Δp tenemos entonces que la magnitud de la fuerza aplicada es

F = Δp/Δt = (2 kgm/s) / (0.01s) = 200 kgm/s2 = 200 N

4.- Una placa de 10 kg de masa  se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal, sin fricción. Un bloque de 5 kg es arrojado horizontalmente sobre la placa, con una velocidad v1 = 6 m/s. Debido a la fricción entre el bloque y la placa, ésta es arrastrada  y también se pone en movimiento.  Luego de cierto tiempo, el bloque y la placa alcanzan la misma velocidad final v2 y pasan a moverse juntos. ¿Cuál es el valor de la velocidad final v2?
Solución:
 
Se tienen dos momentos, uno cuando se lanza el bloque (1) y el otro cuando la placa y bloque se mueven juntos como un solo cuerpo (2), del principio de conservación de la cantidad de movimiento se debe cumplir:

p1 = p2
La cantidad de movimiento (1) es igual al momentum de la placa que está en reposo y el momentum del bloque, luego:

p1 = (masa del bloque)(velocidad del bloque) + (masa de la placa)(velocidad de la placa)=

p1 = 5kg( 6m/s) + 10kg (0) = 30 kgm/s

La cantidad de movimiento (2) es igual a la suma de la cantidad de movimiento del conjunto (placa + bloque) por la velocidad final v2:

p2 = (masa de la placa + masa del bloque)v2 = (10kg + 5kg)v2 = (15 kg)v2

Igualando los dos momentum, tenemos

p1 = p2

30 kgm/s = (15 kg)v2   despejando v2.

v2 = (30 kgm/s)/ 15kg = 2 m/s. Esta es la velocidad del conjunto masa y placa.



5.- Determina el impulso que experimenta un acróbata, cuya masa es de 70kg, cuando cae a una plataforma elástica, desde una altura de 2m.

Solución:
 
Como el impulso es el cambio en la cantidad de movimiento, debemos hallar la velocidad al caer a la plataforma, ya que al final se detiene y su cantidad de movimiento final es cero.


Usando la ecuación de caída libre de la altura podemos hallar el tiempo empleado en caer, para luego calcular la velocidad de impacto en la plataforma, luego:

La altura viene dada por:
y = – ½ gt2
 
– 2m = – ½ (9.8m/s2)t2       de donde:      t = 0.6s

Calculamos la velocidad de impacto con:

v = gt = (–9.8m/s2) (0.6s) = – 5.9 m/s

La cantidad de movimiento antes de tocar la plataforma es:

pantes  = mv = 70kg(– 5.9m/s) = – 413 kgm/s

El impulso es

I = pdespués - pantes  = 0 – (– 413 kgm/s) = 413 kgm/s

El impulso que experimenta el acróbata es de  413 kgm/s hacia arriba.

6.- Sobre una pista de hielo se lanza una esfera de 1kg, con una velocidad de 10m/s. Durante el movimiento, la bola choca frontalmente con un objeto pequeño detenido, como se muestra en la figura. Debido al choque, la velocidad de la esfera se reduca en un 18%. Suponiendo que la masa del objeto es de 100g, calcula la velocidad que adquiere como consecuencia del impacto.


Solución:
 
De acuerdo al principio de conservación de la cantidad de movimiento, la cantidad de movimiento antes de la colisión debe ser igual a la cantidad de movimiento después de la colisión. Luego:

pantes  = pdespués

me(ve)antes + mo(vo)antes = me(ve)después + mo(vo)después

1kg(10m/s) + 0.1kg(0) = 1kg(8.2m/s) + 0.1 kg(vo)después

1kgm/s = 8.2kgm/s + 0.1 kg(vo)después de donde 

(vo)después  = 18m/s

La velocidad del pequeño objeto después de la colisión es de 18m/s

7.- Dos bloques de masas 1kg y 2kg, respectivamente se mueven uno hacia el otro  con velocidades de 1m/s y 2m/s, como indica la figura. Si inmediatamente después del choque, el bloque de masa 2kg se mueve con velocidad de 0.8m/s en la dirección en que se movía inicialmente, determina la velocidad del bloque de 1kg.
 

Solución:
De acuerdo al principio de conservación de la cantidad de movimiento, la cantidad de movimiento antes de la colisión debe ser igual a la cantidad de movimiento después de la colisión. Luego:

pantes  = pdespués

La cantidad de movimiento del sistema antes del choque está dada por la cantidad de movimiento de cada masa, entonces:

pantes  = p 1antes + p 2antes

pantes  = m1(v1) + m2(v2) = 1kg(1m/s) + 2kg(–2m/s) = – 3kg·m/s

La cantidad de movimiento del sistema después del choque está dada por la cantidad de movimiento de cada masa, entonces:

pdespués = p 1después + p 2después 

pdespués = m1(v1) + m2(v2) = 1kg(v1) + 2kg(–0.8m/s) 

Igualando pantes  = pdespués

1kg(v1) + 2kg(–0.8m/s) = – 3kg·m/s      se obtiene:   v1 = –1.4m/s

Después del choque, el bloque de 1kg se mueve con una velocidad de 1.4m/s en dirección contraria a la que tenía antes de la colisión.

 

 8.- Una partícula de masa m = 200g describe una trayectoria rectilínea por la acción de una fuerza constante. La partícula pasa de una velocidad de 3m/s  a una velocidad de 8m/s, durante un intervalo de tiempo de 4s.

a) ¿Cuáles son los valores de la cantidad de movimiento inicial y final de la partícula?
b) ¿Cuál es el valor del impulso recibido por la partícula en ese tiempo?

MÁS EJERCICIOS RESUELTOS:


EJERCICIOS PARA RESOLVER:


Ejercicios resueltos: 



EJERCICIOS DE AFIANZAMIENTO

1.- Sobre una mesa horizontal se encuentran tres esferas de acero A, B y C, cuyas  masas son mA = 2kg, mB = 0.5 kg y mC = 2 kg. En un instante dado las esferas poseen las velocidades que se muestran en la figura.


Para dicho instante:

a) Calcule las cantidades de movimiento de cada esfera.

b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento del sistema formado por las esferas A y B?

c) ¿Cuál es la cantidad de movimiento del sistema formado por las esferas  B y C?

d) ¿Cuál es la cantidad de movimiento del sistema formado por las tres esferas?

 

2.- Con una escopeta se dispara un cartucho de 100 perdigones de 0,4 g cada uno, los que adquieren una velocidad de 280 m/s, ¿cuál es la velocidad de retroceso del arma si pesa 5 kg?

3.- Mediante un palo de golf se aplica a una pelota una fuerza de 242,2 N y adquiere una velocidad de 95 m/s. Si la masa de la pelota es de 0,05 kg, ¿durante cuánto tiempo actuó el palo sobre la pelota?

4.- Una pelota de futbol de 850 g de masa adquiere una velocidad de 40 m/s mediante un puntapié de 0,2 s de duración, ¿qué fuerza recibió la pelota?

5.- Determinar la masa de una esfera metálica que por acción de una fuerza de 20 N durante 0,3 s le provoca una velocidad de 2 m/s.

6.- A un cuerpo de 980 kg se le aplica una fuerza constante de 40 N durante 5 s. Calcular el impulso total y el incremento de velocidad.

7.- A un cuerpo de 50 kg de masa se le aplica una fuerza de 150 N durante 5 s, calcule el impulso y el incremento de velocidad.

 8.- Una partícula de masa m = 200g describe una trayectoria rectilínea por la acción de una fuerza constante. La partícula pasa de una velocidad de 3m/s  a una velocidad de 8m/s, durante un intervalo de tiempo de 4s.

a) ¿Cuáles son los valores de la cantidad de movimiento inicial y final de la partícula?

b) ¿Cuál es el valor del impulso recibido por la partícula en ese tiempo?

 

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