Cuerpos homogéneos o
uniformes: Un cuerpo es homogéneo o uniforme, cuando al dividirlo en pequeñas
partes de igual tamaño, todas tienen el mismo peso, cuando esto sucede el centro
de gravedad coincide con el centro geométrico. En todos los cuerpos, el centro
de gravedad se encuentra más cerca de la zona de mayor concentración de masa.
En un cuerpo homogéneo es
muy importante el concepto de densidad lineal de masa (masa por unidad de
longitud ), ( M/L)
Hemos visto que cuando se
le aplica una fuerza a un cuerpo, éste se puede acelerar o girar, aunque en
ambos casos está acelerado, sobre él actúa una fuerza neta, de acuerdo a la
primera ley de Newton.
Para un cuerpo rígido, se
tiene dos condiciones que debe cumplir para encontrarse en equilibrio:
1.- Que la fuerza neta
que actúa sobre el cuerpo sea cero
2.- Que el torque neto,
es decir, la suma de los torques, con respecto a un eje de rotación, sea igual
a cero.
GRÁFICAS DONDE SE CUMPLEN LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO:
PARA SABER MÁS: Explora este enlace y analiza los ejemplos que alli se muestran
En la figura a), se tiene
una barra de longitud l, de peso w y que puede girar alrededor de un
pivote en el punto O. Si se le aplica en el extremo una fuerza F, la barra giraría en dirección contraria
a las manecillas del reloj, torque positivo, para que se mantenga en
equilibrio, debe existir una fuerza, F´, como muestra la figura b) para que
el torque de ésta fuerza que es negativo, equilibre el torque producido por el
peso y la fuerza F y además, se
cumpla que la suma de las tres fuerzas sea igual a cero.
PARA SABER MÁS: Explora este enlace y analiza los ejemplos que alli se muestran
EJEMPLOS DE APLICACIÓN:
1.- Una tabla uniforme, de 4 m de largo y peso 200 N
está sujeta por uno de sus extremos a una pared vertical en el punto O y el
otro extremo está atada al techo por medio de una cuerda que forma un ángulo de
30º con la horizontal, como se muestra en la figura a). Un hombre de 600 N de
peso está parado a 30m de la pared.
Determina:
a) La tensión que soporta la cuerda
b) la fuerza ejercida por el pivote O sobre la
barra.
Solución:
a) En
la figura b) se muestran las fuerzas que actúan sobre la barra:
El pivote O ejerce una fuerza F con componentes Fy para evitar que la tabla caiga y Fx para evitar que la tabla se aleje de la pared, el
peso de la tabla ubicado en el centro de gravedad, Ftabla, el hombre ejerce una fuerza sobre la tabla
equivalente a su peso, Fhombre,
la cuerde ejerce la fiera de tensión, T,
que forma un ángulo de 30º con la horizontal por ser ángulos alternos internos,
la tensión tiene también dos componentes una horizontal y una vertical.
Como la
tabla se encuentra en equilibrio, una de las condiciones que debe cumplir es
que la suma de los torques con respecto a cualquier punto sea cero, se puede
elegir como punto de referencia para calcular los torques cualquier punto de un
objeto en equilibrio estático, ya que ningún punto del objeto se mueve con
respecto a otro, debido a que es un
cuerpo rígido.
Si elegimos
como punto de referencia para calcular los torques el pivote O, facilita los
cálculos puesto que no conocemos el valor de F y además, con esta elección el torque
de la fuerza F es cero, porque en este caso r, es cero. De lo anterior,
tenemos:
τ
o(F) + τ
o(Ftabla) + τ o(Fhombre) + τ
o(T) = 0 Equilibrio rotacional
0 – l/2(peso de la tabla) – (3 m)(peso del
hombre) + l(T)sen30º = 0
– 4m/2(200N) – (3
m)(600N) + (4 m)(T)(0.5) = 0
De donde se obtiene que T =
1100 N
La tensión que soporta la
cuerda es de 1100 N
a) De
acuerdo a la segunda condición de equilibrio, la suma de las fuerzas debe ser
cero, como la tabla se mantiene en equilibrio, la suma de las cuatro fuerzas es
cero.
Para hallar
la fuerza F que ejerce el pivote,
vamos a descomponer cada fuerza en componentes rectangulares:
La
tensión tiene dos componentes:
Tx
= T cos 30º = 1100N cos 30º = 952.6 N
Ty
= T sen 30º = 1100 N sen 30º = 550N
El peso
de la tabla tiene solo componente en el eje e igual a su peso, negativo.
El peso
del hombre tiene solo componente a lo largo del eje e igual a su peso, negativo
La fuerza
del pivote tiene dos componentes que se muestran, Fx y Fy
Sumando las
fuerzas, componente a componente, obtenemos la fuerza neta:
F = (Fx , Fy)
Ftabla = (0, –200N)
Fhombre = (0, – 600N)
T = (952.6 N, 550N)
Fneta
= (Fx + 952.6N , – 250N + Fy ) = (0, 0) Está en equilibrio traslacional
Luego Fx
= – 952.6N Fy
= 205 N
La
magnitud de la fuerza F por el teorema de Pitágoras:
F2
= (– 952.6N)2 + (
205N)2
F = 984N
La
dirección de la fuerza F aplicada sobre el pivote O es:
tan α = (250N)/(952.6N)
= 0.26
α = 14.7º
La fuerza ejercida por el pivote en el punto O, tiene una magnitud de 984 N y una dirección de 14.7º con el eje x hacia la izquierda, esta es la reacción del pivote, por eso el sistema está en equilibrio.
2.- Un camión tiene una anchura de 2 m y su centro de masas está a 1.50 m de altura. Determinar qué velocidad máxima debe llevar para no volcar en una curva de radio 30 m.
Las
fuerzas de rozamiento, Fr, no ejercen ningún momento respecto al punto O.
Para que
el camión no vuelque el momento del peso, W, respecto al punto O debe ser mayor
que el momento de la fuerza centrífuga, Fc:
τ o(W) = τ o(Fc)
W.d /2sen 90º = Fc.h sen
90º
W.d /2 = Fc.h
m.g.d /2 = m.v2.h /R
v2 = g.d.R /(2.h)
v = [ g.d.R /(2.h) ]1/2
En este caso:
v = [ (9.8m/s2)(2m)(30m)
/2(1.5m) ]1/2
v = 14 m /s
El
resultado no depende de la masa del camión pero si de su anchura y de la
posición del centro de masas.
3.- Una
puerta de 2 m de alto por 1 m de ancho tiene una masa de 20 Kg. Tiene dos
bisagras en un lateral situadas a 20 cm de los extremos, cada una de ellas
sostiene el mismo peso. Determinar las reacciones de las bisagras.
Si está
en equilibrio la suma de todas las fuerzas debe ser cero:
Ax = Bx
Ay + By = W
Si cada
bisagra sostiene el mismo peso:
Ay = By = W/2 = 20kg
(9.8m/s2) /2 = 98 N
Por estar
en equilibrio la suma de momentos respecto a cualquier punto es cero. Sean d la
separación de las bisagras y a la
anchura de la puerta:
Respecto a la bisagra A: Bx.d
= W.a/2
Respecto a la bisagra B: Ax.d
= W.a/2
Ax = Bx = mg.a / (2.d)
Ax = Bx = 20kg (9.8m/s2).(1m)
/ 2(1.6m)
Ax = Bx = 61.25 N
La
reacción total en cada bisagra tiene el sentido expresado en el dibujo y sus
módulos serán:
A = B = [(61.25N)2 + (98N)2)1/2
= 115.57 N
θ = arc tg (Ay / Ax)
θ = arc tg ( 98 N / 61.25 N) = 58º
4.- Una
regla uniforme de 1 m de longitud y masa 60 gramos tiene a 12 cm de un extremo
una masa añadida de 10 gramos. Determinar a qué distancia mantendrá el
equilibrio sobre el filo de una navaja.
Utilizaremos las unidades gramo y centímetro.
a = 12 cm
L = 100 cm
La densidad lineal de la regla será:
d = M / L = 60 / 100 = 0.6 g / cm
Si está en equilibrio el momento total es cero:
m.g.(x–a) + d.x.g.x/2 – d.(L–x).g.(L–x)/2 =
0
2.m.(x–a) +
d.x2 = d.(L–x)2
Reemplazando:
(2)10g(x–12) + (0.6g/cm)x2
= 0.6g/cm(100cm–x)2
20g.x – 240g + (0.6g/cm)x2
= 6000g – 120.x + 0.6.x2
(140g/cm) x = 6240 g
x = 6240cm / 140 =
44.57 cm
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
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