Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:
- Tiene un término cuadrático y con coeficiente 1.
- Posee un término que tiene la misma variable que el termino anterior pero de menor grado (bx), término lineal, (puede ser negativo o positivo).
- Tiene un término independiente (c).
Para factorizar este trinomio, primero se ordena si no esta ordenado; luego se descompone en dos binomios, (x + p)(x + q), de los cuales el primer término, (x), de cada binomio es la raíz cuadrada del término cuadrático, el término independiente se descompone en dos factores, p(q) = c y su suma algebraica sea igual al coeficiente del término lineal (b) = p + q
Resumiendo:
x2 + bx + c = (x + p)(x + q) si p + q = b ; p(q) = c
EJEMPLOS
Factorizar:
a) x2 + 5x + 6
Hallamos la raíz cuadrada de x2 = x
Descomponemos al número 6:
6 = 1(6)
= 2(3)
Veamos si se cumplen con cada par las condiciones
1 + 6 = 7 (No se verifica), no es igual a 5 = b
2 + 3 = 5 = b (si se cumple)
Luego tenemos que
x2 + 5x + 6 = (x +3)(x + 2)
CORRESPONDE A LA MULTIPLICACION DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN !!!!!
b) a2 + 10a + 24
La raíz cuadrada de a2 = a
Descomponemos el término independiente 24
24 = 1x24, su suma es 1 + 24 = 25, no cumple la condición
= 2x12, su suma es 2 +12 = 14, no cumple la condición
= 3x8, su suma es 3 + 8 = 11, no cumple la condición
= 4x6, su suma es 4 + 5 = 10, cumple la condición
De lo anterior,
a2 + 10a + 24 = (a + 6)(a + 4)
c) m2 + 2m – 15
La raíz cuadrada de m2 = m
Descomponemos el término independiente 15
15 = 1(15)
= 3(5)
Como el término independiente es negativo, uno de los dos factores debe ser negativo para que cumpla con la condición, además el coeficiente del término lineal es positivo, lo que significa que el mayor de estos dos factores debe ser positivo. Si probamos con los dos primeros, tenemos:
15(–1) = –15
15 – 1= 14 : no cumplen la condiciones.
5(–3) = –15
5 –3 = 2, cumplen las condiciones para factorizar. Luego:
m2 + 2m – 15 = (m + 5)(m – 3)
d) a2 – 3a –10
La raíz cuadrada de a2 = a
Descomponemos el término independiente 10
10 = 1(10)
= 2(5)
Como el término independiente es negativo, uno de los dos factores debe ser negativo para que cumpla con la condición, además el coeficiente del término lineal es negativo, lo que significa que el mayor de estos dos factores debe ser negativo. Si probamos con los dos primeros, tenemos:
1(–10) = –10
1 –10 = – 9. no verifican las condiciones
–5(2) = – 10
–5+2 = –3 Verifican las condiciones. Luego tenemos:
a2 – 3a –10 = (a – 5)(a + 2)
e) d2 – 15d + 50
La raíz cuadrada de d2 = d
Descomponemos el término independiente 50
50 = 1(50)
= 2(25)
= 5(10)
Como el término independiente es positivo, y además, el coeficiente del término lineal es negativo, lo que implica que los dos factores deben ser negativos. Si probamos con cada par de valores, tenemos:
(–1)( –50) = 50
–1 –50 = – 51 No se cumplen las condiciones
Con el otro par de valores:
(–2)( –25) = 50
–2 –25 = –27, No cumplen las condiciones
Con el otro par de valores:
(–5)( –10) = 50
–5 –10 = –15. Se verifican las condiciones.
Las condiciones son:
x2 + bx + c = (x + p)(x + q) si p + q = b ; p(q) = c ; Luego:
d2 – 15d + 50 = (d – 5)(d –10)
PARA SABER MÁS
https://pdfz.blogspot.com/2019/09/caso-del-trinomio-de-la-forma-x2-bx-c.html
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
Un trinomio de la forma x2 + bx + c, es factorizable si existen dos números p y q que cumplen las condiciones: p+q = b y pq = c, es decir, el polinomio se puede escribir como:
x2 + bx + c = x2 + (p + q)x + (pq)
en este caso el trinomio se expresa como el producto de dos binomios:
(x + p)(x + p)
ACTIVIDAD RESUELTA
Determina cuáles de los siguientes trinomios son de la forma x2 + bx + c, luego factorízalo
a) x2 + 8x – 20 b) x2 + 7x + 4
SOLUCIÓN
a) x2 + 8x – 20, es de la forma (x + p)(x + p), porque existen dos números cuyo producto es – 20 y su suma es 8, ya que (10)( –2) = – 20 y 10 + (–2) = 8, luego el polinomio se puede factorizar como:
(x + 10)(x – 2)
b) x2 + 7x + 4, no es de la forma (x + p)(x + p), porque el número 4 tiene como factores:
4 = (1)(4)
4 = (2)(2)
Ninguno de ellos cumple la condición:
p + q = b = 7
EJERCICIOS INTERACTIVOS
1.- https://www.intermatia.com/ejercicios/PL004/
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1.- Completa la tabla con los números p y q que correspondan.
|
p |
q |
p+q |
pq |
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
3 |
– 40 |
|
|
|
– 4 |
– 21 |
|
|
|
– 6 |
– 40 |
|
|
|
– 5 |
– 24 |
2.- Elige los términos p y q de modo que se cumpla: x2 + bx + c = x2 + (p + q)x + (pq)
a) x2 + 5x + 6 : (5) (3) (1) (2) (4)
b) x2 + 3x – 10 : (2) (–7) (5) (1) (–2)
c) x2 + 23x + 120 : (2) (15) (–6) (8) (–9)
d) x4 + 21x2 – 100 : (1) (25) (5) (–4) (6)
3.- Completa cada trinomio para que la igualdad sea verdadera
a) x2 + ( )x – ( ) = (x + 6)(x – 2)
b) m2 + ( )m – ( ) = (m + 9)(m – 6)
c) 1 – ( )a – ( )a2 = (1 – 8a)(1 + 6a)
d) x4 – ( )x2 – ( ) = (x2 – 3)(x2 + 1)
e) y2 – ( )y – ( ) = (y – 24 )(y + 3)
f) a2 + ( )ab – ( ) = (a + 5b)(a – 3b)
g) n2 – ( )n – ( ) = (n – 7)(n + 4)
4.- Factoriza cada trinomio de la forma
(x + p)(x + p)
a) x2 + 2x – 35
b) x4 + 4x2 – 5
c) x6 + 6x3 + 9
d) x8 + 13x4 + 42
e) x2 – 14x + 33
f) a2 – 10a + 9
EJERCICIOS DE AFIANZAMIENTO
1) c2 + 7c + 6 2) z2 + 11z + 18
3) s2 + 4s – 45 4) g2 – 3g – 40
5) x2 + 7x + 12 6) w2 + 15w – 16
7) q2 + 9q + 40 8) f2 + 11f + 24
9) a4 + 9a2 – 52 10) (a –1)2 + 13(a – 1) + 36
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