FUNCIONES Y RELACIONES

FUNCIÓN

En general, una función f definida de un conjunto A en un conjunto B, es una relación o regla de correspondencia, que le asigna a cada uno de los elementos x de A un único elemento y de B.

Si a un elemento x de A se le asigna un elemento y de B, se dice entonces que y es la imagen de x, lo cual se representa mediante la fórmula y = f(x) que se lee y es función de x. El conjunto de todos los valores admisibles de x se denomina dominio de la función, al conjunto de todos los valores resultantes de y recibe el nombre de rango de la función. Al rango también se le llama recorrido de la función, mientras que al conjunto de los elementos de llegada se le llama codominio o contradominio.

VARIABLE INDEPENDIENTE Y VARIABLE DEPENDIENTE

En cualquier función de A en B, los valores de A pueden variar de forma independiente de los valores de B. Esto significa que pueden asignarse valores arbitrarios x de A, siempre que sean admisibles, por el contrario, los valore  de B varían de acuerdo con los valores  asignados x en A. Es decir, los valores de B dependen de los valores de A.

Generalmente, si f  es una función del conjunto A en el conjunto B, si x pertenece a A y y pertenece a B, a x se llama variable independiente, y a y se le llama variable dependiente. 

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

Si una función f es una función real, f puede expresarse como un conjunto de parejas ordenadas (x, y), con x, y números reales, tales que y = f(x). A cada par ordenado (x, y) se le puede hacer corresponder un punto P(x, y) en el plano cartesiano. El conjunto de todos estos puntos es la gráfica de la función.

SIMETRÍA DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Existen funciones que presentan simetrías respecto a rectas o puntos del plano o no tener simetrías.

Una función f  presenta simetría con respecto el eje de las ordenadas (eje y) cuando para todo elemento del domino se cumple que f(-x) = f(x). A estas funciones también se les llama pares.

Para cualquier valor de x, f(-x) = f(x) y los puntos P(x, y) y Q(-x, y) son simétricos con respecto el eje de las ordenadas.

Una función f es simétrica con respecto al origen cuando para todos los elementos del dominio se verifica que f(-x) = - f(x). Estas funciones también se les denominan funciones impares.

Para cualquier valor de x,  f(-x) = - f(x) y los puntos P(x, y) y Q(-x, -y) son simétricos con respecto al origen.

                         Simetría  par                                                                                   Simetría impar

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

Una función f es creciente en un intervalo (a, b) si para dos valores cualesquiera del intervalo, x₁

y  x₂ tales que x₁ < x₂, se cumple que f(x₁) <  f(x₂)

Una función f es decreciente en un intervalo (a, b) si para dos valores cualesquiera del intervalo, x₁ y x₂ tales que x₁ < x₂, se cumple que f(x₁) >  f(x₂).

En la gráfica anterior, la función dada es decreciente en el intervalo (- α, 0) y creciente en el intervalo (0, α ).

FUNCIÓN PERIÓDICA

Las funciones periódicas son de gran importancia, ya que permiten modelar fenómenos que se repiten con determinada frecuencia.

Una función f es periódica con período P, si P es el menor número real positivo con la condición:

 f(x) = f(x + P) para todo x del dominio. La gráfica siguiente, es una función periódica.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las razones trigonométricas se han estudiado para un valor determinado del ángulo α. Pero si se cambia la condición sobre el ángulo, es decir, si se le hace corresponder cualquier valor dentro de los números reales, se tiene que para cada uno de los ángulos se pueden establecer los valores correspondientes utilizando las razones trigonométricas, siempre que la razón esté definida, lo que significa que para algunos valores no es posible calcular la razón.

Como las razones trigonométricas se definen a partir de las coordenadas de un punto P(a, b) perteneciente al lado final del ángulo o un valor de x de los números reales, las funciones trigonométricas del mismo modo se definen a partir de las coordenadas del punto P.

De esta forma se ampliará la definición de funciones trigonométricas y su relación con el conjunto de los números reales.

Consideremos una circunferencia unitaria o goniométrica, es decir, de radio la unidad. 

Sea x un ángulo en posición normal y P(a, b) el punto final de x, entonces las funciones trigonométricas se definen como:

sen x = b,                                              csc x = 1/b,    con  b ≠ 0,  Entonces   y = f(x) = sen x                  Entonces   y = f(x) =  csc x

cos x = a                                               sec x = 1/a,    con  a ≠ 0,                     Entonces   y = f(x) = cos x                  Entonces  y = f(x) = sec x

tan x = b/a     con    a ≠ 0,                   ctan x = a/b,    con b ≠ 0,  Entonces   y = f(x) =  tan x                 Entonces   y = f(x) = ctan x

LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS

Para obtener una visión general de las  características de  las funciones trigonométricas, es necesario partir de las líneas trigonométricas.

Las líneas trigonométricas se construyen ubicando un punto B de coordenadas (x, y) en una circunferencia unitaria cuyo centro O se encuentra en el origen del plano cartesiano.

Se trazan rectas tangentes a la circunferencia (aquí solo se muestra un cuadrante de la circunferencia unitaria) en los puntos D y G respectivamente, se prolonga el radio AB hasta cortar las dos rectas tangentes en los puntos E y F. Por último, se traza el segmento BC perpendicular al eje de las abscisas.

Como el ángulo GFA es congruente al ángulo α, por ser alternos internos entre paralelas, entonces, los triángulos FGA, BCA y EDA son semejantes, ya que son rectángulos y tienen un ángulo agudo congruente.

Con esta construcción, como el radio de la circunferencia es igual a uno, se pueden determinar las líneas trigonométricas a partir de los triángulos semejantes resultantes, aplicando la proporcionalidad entre sus lados:

sen α = BC/AB = BC/1 = BC,    donde BC representa el valor del seno del ángulo.

co α = AC/AB = AC/1 = AC,    donde AC representa el valor del coseno del ángulo.

tan α = ED/AD = ED/1 = ED,    donde ED representa el valor de la tangente del ángulo.

ctan α = GF/AG = GF/1 = GF,    donde GF representa el valor de la cotangente del ángulo.

sec α = AE/AD = AE/1 = AE,    donde AE representa el valor de la secante del ángulo.

csc α = AF/AG = AF/1 = AF,    donde AF representa el valor de cosecante del ángulo.