Para
resolver triángulos, debemos tener presente, que si son rectángulos podemos
utilizar las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras, si no lo son
aplicamos el teorema del seno y el teorema del coseno.
PROBLEMAS:
1.-
Una torre está atada al piso mediante dos cables, como se muestra en la figura.
Si
α = 30º y β = 60º, ¿Cuál
es la razón entre h y H?
SOLUCIÓN:
Tenemos
dos triángulos rectángulos, un ángulo agudo
y su respectivo cateto opuesto, para hallar la razón entre h y H podemos
utilizar la razón seno o la razón tangente, si usamos la razón seno tendríamos
dos hipotenusas que no conocemos, lo que complicaría el problema; si utilizamos
la razón tangente, tendríamos un cateto adyacente común, lo que nos permitiría
hallar la razón pedida.
Si
llamamos x al cateto adyacente común, como se muestra en la siguiente figura.
Aplicando
la relación tangente a ambos ángulos:
tan
α =h/x, de donde h= x tan α
(1)
tan
β = H/x de donde H = x tan β
(2)
Como
nos interesa hallar la razón entre H y h, dividamos (2) entre (1)
H/h
= x tan β / x tan
α,
Si
cancelamos x y reemplazamos los valores de α y β, obtenemos:
H/h
= tan
60°/ tan
30°, efectuando los cálculos:
H/h
= 3, lo que significa que H = 3h
2.-
La antena de un edificio se encuentra instalada en la terraza a 80 m de altura.
Una persona está a 105 m a nivel del suelo, observando al edificio, tal como se
muestra en la figura.
a)
¿Qué ángulo de elevación permite
observar la parte más alta del edificio?
b)
Al
observar la punta de la antena, el ángulo de elevación aumenta 0.8º respecto al
ángulo, cuando se observa la parte más alta del edificio. ¿Es posible calcular la altura de la antena teniendo
en cuenta esta información? Justifique su respuesta
SOLUCIÓN:
a)
Para
hallar el ángulo de elevación que permite observar la parte más alta del
edificio, como es un triángulo rectángulo y nos dan los dos catetos, si
llamamos como B el ángulo de elevación aplicamos la relación tangente así:
tan B = 80m / 105m de donde el ángulo B = 37° 18’ 14.21’’
b ) Si es posible con la
información suministrada hallar la longitud de la antena, al valor del ángulo hallado antes le sumamos los
0.8° que resulta el ángulo a aplicar
dando 38° 6’ 14.21’’ utilizando la relación tangente y llamando y a la altura de la antena así:
tan B = (80m + y) / 105 m luego:
80m + y = 105m tan38° 6’
14.21’’ despejando y :
y = 105m tan38° 6’ 14.21’’ –
80m, lo que resulta: y =
2.34m la altura de la antena.
3.-
Una torre de energía está sostenida por dos cables que distan entre sí 100 m,
como se muestra. ¿Cuál es la longitud de los cables?
¿Cuál es la altura de la torre de
energía?
SOLUCIÓN:
Si
llamamos a y b la longitud de los cables, H a la altura de la antena y si
tenemos en cuenta que:
x
+ y = 100 m, como los triángulos resultantes son rectángulos, apliquemos la
relación tangente así:
tan
50º = H / x de donde x = H / tan 50º (1)
tan
70º = H / y de donde y = H / tan 70º (2) Sumando miembro a miembro (1) y (2)
x
+ y = H / tan 50º + H / tan 70º
como x + y = 100 m tenemos:
100
m = H / tan 50º + H / tan 70º
Sacando factor común:
100
m = H (1 / tan 50º + 1 / tan 70º ) despejando
H
H
= (100 m) / (1 / tan 50º + 1 / tan 70º )
de donde : H = 120.31 m, esta es la altura de la antena.
Para
hallar la longitud de los cables aplicamos la relación seno así:
Sen
70º = H / b de donde b = H /sen 70º, b = 120.31 m / sen 70º, b = 128.03 m
Sen
50º = H / a de donde a = H /sen 50º, a = 120.31 m / sen 50º, a =
157.05 m
Los
cables que sostienen la antena miden 157.05 m y 128.03 m, la altura de la
antena de 120.31 m
Desde un punto P ubicado a 9 m del suelo, el
ángulo de elevación al punto más alto de un edificio es de 30° 25’, y el ángulo
de depresión a la base del mismo es de 15° 45’. ¿Cuál es la altura del edificio?
SOLUCIÓN:
Este
problema nos da dos triángulos rectángulos, en uno de ellos, un ángulo agudo
con su cateto opuesto y en el otro triángulo el ángulo agudo con su cateto
opuesto que relaciona la altura del edificio, los dos ángulos poseen el cateto adyacente común, lo más sencillo es
aplicar la relación tangente a dichos ángulos, si llamamos x al cateto
adyacente común, tenemos:
tan
15° 45’ = 9 m /x de aquí obtenemos: x =
9 m/ tan 15° 45’ (1)
tan
30° 25’ = (h – 9 m)/ x de donde:
x = (h – 9 m)/ tan 30°
25’ (2)
Igualando
las expresiones (1) y (2) se obtiene:
9 m/ tan 15° 45’= (h – 9 m)/ tan 30° 25’
reordenando:
(h – 9 m)/ 9 m = tan 30° 25’ / tan 15°
45’ multiplicando por 9 m:
h – 9m = 9 m (tan 30° 25’ / tan 15° 45’ ) resolviendo quedaría:
h = 9m (tan 30° 25’ / tan 15° 45’) +
9 m de donde
h = 27.73 m
5.-
Un escalador observa desde la cima de una montaña los campamentos de sus
compañeros, como se muestra en la figura.
Si
la estación de comunicaciones se encuentra en el campamento 1 y tiene un
alcance de 40 km, ¿puede el montañista comunicarse
con sus compañeros?
SOLUCIÓN:
Para
el montañista comunicarse con sus compañeros, entre él y el campamento 1 no
debe ser mayor de 40 km por el alcance de la estación.
No
podemos aplicar las razones trigonométricas porque el triángulo no es
rectángulo, utilizamos entonces el teorema del coseno, luego:
(15 km)2
= a2 + (20 km)2 – 2(20 km)(cos 25°)(a)
225
km2 = a2 + 400 km2 – 36.2523 km(a) resolviendo:
a2
– 36.2523km(a) + 175 km2 = 0
Resolviendo esta ecuación aplicando la fórmula general de segundo grado:
a = (– (–
36.2523km) ±SQRT((– 36.2523 km)2 – 4 (1)( 175 km2))/ 2(1)
se
obtiene:
a
= 30.5179 km
Como esta distancia es menor que 40 km que es el
mayor alcance de la estación ubicada en el campamento 1, el montañista puede
fácilmente comunicarse con sus compañeros, ya que ellos están localizados a
distancias menores que ésta.
6.-
Un francotirador sube 300 m de una montaña. Su objetivo se encuentra a 500 m a
nivel de la superficie.
a)
La
precisión del arma se tiene cuando el proyectil recorre menos de 800 m. ¿Está bien ubicado el francotirador?
b)
¿Cuál es el ángulo de depresión del
tirador?
c)
Si
el objetivo se aleja 200 m, determina cuánto y hacia dónde debe dirigirse el
francotirador para no perder precisión.
SOLUCIÓN:
a)
El
francotirador está bien ubicado si el proyectil recorre menos de 800 m, es
decir, si llamamos a a la distancia
entre él y el objetivo es menor que 800 m. Como el triángulo no es rectángulo
no podemos aplicar las razones trigonométricas. Esta distancia la encontramos
aplicando el teorema del coseno, así:
a2 = (500 m)2
+ (300 m)2 – 2(500 m)(300 m)(cos 100°)
a2 = 392094.4533 m2 de donde a es:
a = 626.17 m.
Como esta respuesta es menor que
800 m el tirador está bien ubicado.
b)
Para
hallar el ángulo de depresión del tirador, procedemos así:
El ángulo de depresión del tirador
corresponde al ángulo opuesto a 300 m, ya que si trazamos dicho ángulo, tendríamos
dos paralelas cortadas por una secante, y estos ángulos serían alternos
internos, que son congruentes, debido a ello, para calcularlo, si llamamos éste
ángulo como B y aplicamos el teorema del seno, usando el valor encontrado en el
punto anterior:
626.17 m / sen 100° = 300 m / sen
B de aquí obtenemos:
Sen
B = 300 m (sen 100°)/ 626.17 m luego:
Sen B = 0.4718 el ángulo de depresión del tirador, B es 28° 9’ 10.05’’
c)
Si
el objetivo se aleja 200 m, la distancia al nivel del suelo será de 500 m + 200 m = 700 m
Aplicando nuevamente el teorema
del coseno, tenemos:
a2 = (700 m)2
+ (300 m)2 – 2(700m)(300 m)( cos 100°)
a2 = 652932.2346 m2 de donde se obtiene:
a = 808.04 m
Como ésta distancia es mayor a 800
m el francotirador debe disminuir la distancia de 300 m, llamemos esta
distancia x, para encontrar esta distancia límite a la que debe ubicarse para
dar en el objetivo, tomamos la distancia máxima de 800 m, que es el máximo
alcance, luego:
(800 m)2 = (700 m)2
+ x2 – 2x(700 m)(cos 100°)
haciendo los cálculos:
640000 m2 = 490000 m2
+ x2 – (– 243.107 m)x
resolviendo
x2 + (243.107 m)x –
150000 m2 = 0
para hallar el valor de x aplicamos la fórmula general de segundo grado:
x = (– (243.107 m) ±SQRT(( 243.107
m)2 – 4 (1)( – 150000 m2))/ 2(1)
De aquí se obtiene:
x = 284.37 m
Para dar en el blanco, el
francotirador cuando el objetivo se aleja 200 m, debe bajar como mínimo 300 m –
284.37 m = 15. 63 m
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