PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS Y DEL SUCESO CONTRARIO

Si tenemos dos sucesos simples A y B, la probabilidad de la unión de los sucesos A y B es:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(AՈB)

Y la probabilidad del suceso contrario al suceso A, es decir, la probabilidad de que no ocurra el suceso A, que se simboliza P(Ᾱ) viene dada por:

P(Ᾱ) = 1 – P(A)

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EJERCICIOS INTERACTIVOS:

http://www.vitutor.com/pro/2/a_8_e.html

TABLAS DE CONTINGENCIA:

EJEMPLO CON TABLA DE CONTINGENCIA:

PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS

Un experimento compuesto es el que está formado por sucesos simple, por ejemplo: lanzamiento de un dado normal y una moneda, el lanzamiento del dado es un experimento simple lo mismo que el lanzamiento de una moneda.

Un experimento compuesto se clasifica en: independientes y dependientes o condicional.

Si A y B son eventos independientes, esto significa que la ocurrencia de un evento no influye en los resultados del otro suceso, por ejemplo, el lanzamiento de una moneda y un dado, los resultados del dado no influyen en los resultados de la moneda,  se cumple que  la probabilidad de que ocurra A y B es

P(AՈB) = P(A).P(B)

Donde P(B/A) representa la probabilidad de A condicionada por el evento A 

Si A y B son eventos dependientes, cuando los resultados de un evento influyen o condicionan los resultados del otro, como en la extracción de una balota después que se ha sacado otra de una urna, el resultado del segundo suceso, depende o condiciona el resultado del primero, en este caso se cumple que  la probabilidad de que ocurra A y B es

P(AՈB) = P(A).P(B/A)

Donde P(B/A) representa la probabilidad de A condicionada por el evento A 

Ejemplos ilustrativos

Se tiene una caja con dos tipos de caramelos, 12 de mango y 8 de papaya. Si se saca un caramelo y después otro, halla la probabilidad de que ambos sean de mango.

SOLUCIÓN

Tenemos dos situaciones, la primera al extraer el primer caramelo, si no me gusta y lo devuelvo a la caja y saco el otro, y el otro caso donde si me gusta, me lo como y luego saco otro.

A)    Para el primer caso, donde se extrae un caramelo y  se  devuelve a la caja para sacar otro, en este caso el segundo  experimento es independiente del primero, porque hay el mismo número de elementos en la caja y la probabilidad de sacar cualquier caramelo es la misma, 12/20 para el caramelo de mango y 8/20 para el caramelo de papaya. En un diagrama de árbol se ilustra en forma sencilla la situación:

La probabilidad de que ambos sean de mango es:

P(MՈM) = P(M).P(M)) = (12/20)(12/20) = 144/400 =  9/25 = 0.36 = 36%

i)                    Si me piden en este caso la probabilidad de que uno sea de mango y el otro de papaya, la probabilidad es:

P(MՈP) = P(M).P(P)) = (12/20)(8/20) = 96/400 =  6/25 = 0.24 = 24%

ii)                  Si me piden la probabilidad de que al extraer los dos caramelos no saque mango, sería:

Si llamamos A al suceso que sea mango, su probabilidad es P(A), entonces que no sea mango sería, Ᾱ y su probabilidad es:

P(Ᾱ) = 1 – P(A)

P(Ᾱ) = 1 – 9/25 = 16/25 = 0.64 = 64%

Si calculamos la probabilidad con decimales es: 

P(Ᾱ) = 1– 0.36 = 0.64 = 64%

Si la calculamos con porcentajes es:

P(Ᾱ) = 1– 36% = 100% – 36% = 64% 

En todos los casos el resultados es el mismo, ¡como debe ser!.

B) Para el primer caso, donde se extrae un caramelo y  no se  devuelve a la caja para sacar otro, en este caso el segundo  experimento es dependiente del primero, ya que el resultado del segundo experimento depende o está condicionado por el resultado del primer experimento, en este caso, en el primer suceso la probabilidad de sacar cualquier caramelo es , 12/20 para el caramelo de mango y 8/20 para el caramelo de papaya, pero en el segundo experimento, como no se devuelve, quedan 19 caramelos y las probabilidades varían. En un diagrama de árbol se ilustra en forma sencilla la situación:

Ahora la probabilidad de que ambos sean de mango es:

P(MՈM) = P(M).P(M/M)) = (12/20)(11/20) = 132/400 = 33/100 = 0.33 = 33%

Si me hubiesen pedido la probabilidad de que el primero fuera de papaya y el segundo de mango, la probabilidad sería:

P(YՈM) = P(P).P(M/P)) = (8/20)(12/19) = 96/400 =  6/25 = 0.24 = 24%

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EJEMPLOS DE EVENTOS COMPUESTOS PARA RESOLVER

1:- Se lanzan tres dados cúbicos. Hallar la probabilidad:

a)      De obtener tres 5

b)      De obtener un dos y 2 cuatros

c)      De no obtener tres cinco

2.- En un armario hay, 10 camisas rojas y cuatro blancas, hallar la probabilidad de:

a) sacar dos camisas rojas

b) sacar una roja y una blanca

c) no sacar camisas rojas

3.- Una caja contiene 25 caramelos de limón, y 15 de menta. Se extraen dos caramelos al azar. Hallar la probabilidad de que el primero sea de menta y el segundo de limón, en el caso que no se devuelva el primer dulce y en el caso donde se devuelve el primer dulce.