TÉCNICA DE LA MULTIPLICACIÓN

Si un evento E puede ocurrir de m formas, e independiente de este evento un evento F  puede ocurrir de n formas, entonces los eventos juntos pueden ocurrir un total de mxn formas

La regla de multiplicación aplicada a dos conjuntos consiste en que dados los conjuntos A = { a₁, a₂,..., a_n} y  B = { b₁, b₂,..., b_m }, se quiere saber cuántas parejas diferentes se pueden formar con sus elementos si se coloca un elemento del conjunto A y posteriormente un elemento del conjunto B.

Primero se elige un elemento cualquiera del conjunto A y se relaciona con cada uno de los elementos del conjunto B, de tal forma que se obtienen m arreglos diferentes (puesto que B contiene m elementos)

a₁b₁ , a₁b₂ , a₁b₃,..., a₁b_m

Después se escoge un segundo elemento del conjunto A, y se relaciona con cada uno de los elementos del conjunto B y se obtienen otros m arreglos, los cuales son todos diferentes respecto de los que se formaron antes, ya que se combinaron elementos diferentes del conjunto A

a₂b₁ , a₂b₂ , a₂b₃,..., a₂b_m

Continuando el proceso se tienen mn parejas distintas que contienen un elemento de cada conjunto. En estos arreglos se escriben primero los elementos del conjunto A seguidos de los del B.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA TÉCNICA DE LA MULTIPLICACIÓN

1.- Supongamos que un restaurante ofrece 4 entradas, 5 platos principales y 2 postres. ¿De cuántas formas un cliente puede ordenar una comida?

Si aplicamos el principio de  la multiplicación paso a paso tendríamos, si llamamos a las entradas:
 A, B, C y D.

A los platos: 1, 2, 3, 4 y 5

A los postres: x,y

Las comidas serían:

A1x, A1y, A2x, A2y, A3x, A3y, A4x, A4y, A5x, A5y,

B1x, B1y, B2x, B2y, B3x, B3y, B4x, B4y, B5x, B5y,

C1x, C1y, C2x, C2y, C3x, C3y, C4x, C4y, C5x, C5y,

D1x, D1y, D2x, D2y, D3x, D3y, D4x, D4y, D5x, D5y.

En total 40 comidas. 

Se aplica el principio de multiplicación, por lo tanto hay 4 x 5 x 2 formas diferentes de ordenar una comida: 40 formas.

2.- ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante? 

 C   V   C

--- --- ---       Se pueden formar: 5(3)(4) = 60   palabras

 5   3   4

3.- Se desea hacer un proceso que consta de tres etapas sucesivas de calentamiento, enfriamiento y reposo. La primera etapa puede hacerse en dos equipos diferentes, la etapa de enfriamiento puede ser llevada a cabo empleando tres variantes en la forma de refrigerar y en el reposo se puede añadir o no un preservante (recuerden que esto es un caso hipotético).

Tenemos entonces que F_T = 2(3)2 = 12

4.- Determine el número de enteros de cuatro dígitos (que no comiencen con cero, ya que sería un número en realidad de tres cifras) en los que

1. ningún dígito se pueda repetir.

 9   9   8   7  

--- --- --- ---

Justificación:

Para escribir cualquier número tenemos los números dígitos (10), que van del cero (0) hasta el nueve (9), como el primer dígito del número correspondiente a las unidades de mil, (si comenzamos de izquierda a derecha),  no puede ser cero, tendríamos entonces 9 dígitos disponibles para esa posición; como se utilizó un digito y no se puede repetir y el cero se puede utilizar, se tiene entonces 9 dígitos para la siguiente posición, las centenas;   se han utilizado dos dígitos, quedando 8 dígitos para las decenas, tercera posición y 7 para las unidades, última posición.

El número de enteros es:

9(9)(8)7 = 4536   enteros

2. se pueden repetir los dígitos.

9(10)(10)10 = 9.000   enteros

JUSTIFICACIÓN: Se tiene 10 dígitos para la cuarta posición, pero como no puede ser cero, se tiene entonces para esa posición 9 dígitos, para las demás posiciones como los dígitos se pueden repetir se tiene entonces disponibles los 10 dígitos

5.- Se tienen ocho libros de física, cuatro de química y siete de matemáticas, todos ellos diferentes, ¿cuántos arreglos de tres libros, que contengan un libro de cada tema, se pueden formar con todos los libros si primero van los de física, seguidos por química y matemáticas?

Con los datos anteriores y el uso de la regla de multiplicación, que indica el  total de arreglos de libros diferentes de cada tema, se obtiene

8x4x7 = 224

6-. Para ir de la ciudad A a la ciudad B existen tres caminos, de la ciudad B a la C existen cuatro, de la ciudad C a la D dos, ¿dé cuántas maneras se puede ir de la ciudad A  a  la D, sin pasar por la misma ciudad más de una vez?

Con los datos anteriores y con el uso de la regla de multiplicación, el total de  caminos diferentes para ir de  A a D es

3x4x2 = 24

7.- Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2

8.-   Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Solución:

Considerando que r = 4 pasos

 N₁= maneras de hacer cimientos = 2

N₂= maneras de construir paredes = 3

N₃= maneras de hacer techos = 2

N₄= maneras de hacer acabados = 1

N₁ x N₂ x N₃ x N₄ = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

9.-   ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?,

a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos,

b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos,

c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?,

d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?.

 Solución:

 a.      9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos

b.      9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos

c.      1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos

 d.      8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos

Ejercicios  propuestos  de la técnica de la multiplicación

1.- ¿Cuántas parejas diferentes se pueden formar con las letras a, r, m y los números 3, 5, 6 y 8, si primero va la letra y después el número?

2. Para viajar de la ciudad de México a Veracruz existen tres caminos y de Veracruz a Tabasco también tres, calcula de cuántas formas puede viajar una persona de México a Tabasco si debe pasar por Veracruz.

3. Una persona quiere regalar dulces de tres tipos a  su hijo: chocolate, caramelo y  goma de mascar; entra a una tienda donde hay doce variedades de chocolates, quince de caramelos y diez de goma de mascar, calcula de cuántas maneras puede  integrar el arreglo de dulces.

4.- ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.