Matemáticas y Física : FACTORIZACIÓN

viernes, 5 de junio de 2020

FACTORIZACIÓN

Cuando se habla de factorización de polinomios o descomposición factorial, se hace referencia a la posibilidad de expresar el polinomio como una multiplicación, como un conjunto de factores. Todos sabemos que los términos de una multiplicación se llaman factores. Muchos manejamos la descomposición de un número en factores primos, eso es factorización de un número.

Las técnicas utilizadas para la factorización de polinomios, llamado casos de factorización, se basan en las propiedades de la multiplicación, especialmente en la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

a(b + c – d) = ab + ac – ad

Así como también hacemos uso de los productos notables.

En síntesis: Factorizar una expresión algebraica consiste en expresarla como un producto de expresiones algebraicas de menor grado. Cuando un polinomio no se puede expresar como un producto de otros de menor grado, se dice que es un polinomio irreductible.

EJEMPLOS

a) Al multiplicar:

3m(4m² + 5 mn – 9n + 7) se tiene

3m(4m² + 5 mn – 9n + 7) = 12m³ + 15m²n– 27mn + 21m

Esto significa que la expresión:

12m³ + 15m²n– 27mn + 21m;

queda factorizada como

3m(4m² + 5mn – 9n + 7)

b) El área de un cuadrado de lado x+6, como el área es igual al producto del lado al cuadrado, tenemos:

(x+6)² = (x+6) (x+6) = x² + 12x + 36

Significa que (x + 6)² = (x + 6)(x + 6) es la expresión factorizada de x² + 12x + 36.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS POR FACTOR COMÚN

Es el caso más sencillo de la factorización ya que es la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. El factor común de los términos de un polinomio es el producto del máximo común divisor de los coeficientes por el máximo común divisor de las partes literales.

Veamos algunos ejemplos ilustrativos

Factorizar:

a) 8abc + 4 abd

Podemos ver que el mayor número que divide al mismo tiempo a 8 y 4 es 4, este es el MCD de 8 y 4, y podemos apreciar que ab aparece en los dos términos, lo que significa que 4ab es el factor común de 8ab + 4 ab. Lo cual se puede comprobar mediante la división:

8abc/4ab = 2c; es decir, 8abc = 4ab(2c)

4abd/4ab = d; es decir, 4abd = 4ab(d)

Aquí vemos que 4ab es el factor común: 8abc + 4abd = 4ab(2c) + 4ab(d)

Al factorizar quedaría: 8abc + 4abd = 4ab(2c + d)

a) 3x³ + 6x² – 12x

El MCD de 3, 6 y 12 es 3, ya que es el mayor número que divide exactamente a 3, 6 y 12, además, el MCD de x³ , x² y x es x. El factor común de esa expresión es 3x, dividimos cada término por el factor común, para factorizarlo:

3x³/3x = x² ; de donde 3x³ = 3x(x²)

6x²/3x = 2x; de donde 6x² = 3x(2x)

–12x/3x = – 4, de aquí – 12x = 3x(– 4)

El factor común es 3x: 3x³ + 6x² – 12x = (3x)(x²) + (3x)(2x) + (3x)( – 4)

La factorización de la expresión sería el producto del factor común por la suma algebraica de cada cociente.

3x³ + 6x² – 12x = 3x(x² + 2x – 4)

Una forma más fácil de factorizar es:

3x³ + 6x² – 12x = (3x)(x²) + (3x)(2x) + (3x)( – 4)

Vemos que 3x es el factor común, porque aparece en todos los términos, luego se saca como factor común, quedando:

3x³ + 6x² – 12x = 3x(x² + 2x – 4)

ACTIVIDAD

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