Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las raíces de esos cuadrados.
Un trinomio cuadrado perfecto se obtiene del producto notable del cuadrado de un binomio:
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser positivo o negativo, si todos los términos son positivos, entonces, las raíces son positivas; si el doble producto es negativo, entonces una de las raíces del binomio es negativa.
EJEMPLOS
FACTORIZAR
a) a2 – 2ab + b2
Raíz cuadrada de a2 = a
Raíz cuadrada de b2 = b
Doble producto sus raíces
2(a)(b) = 2ab ( se cumple) , para expresarlo como factorización, se escriben dentro de un paréntesis las dos raíces exactas y se elevan al cuadrado, con el signo menos, porque el segundo término es negativo:
a2 – 2ab + b2 = (a – b) 2
b) 49m6 – 70 am3n2 + 25 a2n4
Raíz cuadrada de 49m6 = 7m3
Raíz cuadrada de 25a2n4 = 5an2
Doble producto sus raíces
2(7m3 )(5a2n2) = 70am3n2 (se cumple); para expresarlo como factorización, se escriben dentro de un paréntesis las dos raíces exactas y se elevan al cuadrado:
49m6 – 70 am3n2 + 25 a2n4 = (7m3 – 5an2)2
c) 9b2 – 30 ab + 25a2
Raíz cuadrada de 9b2 = 3b
Raíz cuadrada de 25 a2 = 5a
Doble producto sus raíces
2(3b)(5a) = 30ab (se cumple) ; para expresarlo como factorización, se escriben dentro de un paréntesis las dos raíces exactas y se elevan al cuadrado:
9b2 – 30 ab + 25a2 = (3b – 5a) 2
d) 25m2 + 40mn + 16n2
Raíz cuadrada de 25m2 = 5m
Raíz cuadrada de 16 n2 = 4n
Doble producto sus raíces
2(5m)(4n) = 40mn (se cumple) ; para expresarlo como factorización, se escriben dentro de un paréntesis las dos raíces exactas y se elevan al cuadrado, como todos son positivos, las raíces son positivas:
25m2 + 40mn + 16n2 = (5m + 4n)2
e) a2 + 2a (a – b) + (a – b) 2
Raíz cuadrada de a2 = a
Raíz cuadrada de (a – b) 2 = (a – b)
Doble producto sus raíces
2(a)(a – b) = 2a(a – b) ( se cumple), para expresarlo como factorización, se escriben dentro de un paréntesis las dos raíces exactas y se elevan al cuadrado:
a2 + 2a (a – b) + (a – b) 2 = (a + (a – b)) 2 = (a + a – b)2; como se puede reducir, lo hacemos:
a2 + 2a (a – b) + (a – b) 2 = (2a – b) 2
PARA SABER MÁS
https://www.spanishged365.com/factorizacion-de-trinomios-cuadrados-perfectos/
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
1.- Completa el término que falta para que la expresión sea un trinomio cuadrado perfecto
a) a2 + a(a)(3) + ( )2 b) ( )2 + 2(b)(6) + ( )2
c) ( )2 + 2(a)(5) + ( )2 d) m2 – 2(m)(7) + ( )2
e) c2 + 2(c)(1) + ( )2 f) d2 + 2(d)(8) + ( )2
2.- Extrae la raíz cuadrada de los dos términos dados y calcula el doble producto de las raíces, luego escribe el segundo término de cada trinomio cuadrado perfecto
a ) x2 + _________ + 25 b) n2 – __________ + 36
c) y2 + __________ + 64 d ) m2 + _________ + 100
e ) a2
– __________ + 16 f) 4h2 + ___________ + 49
3.- Determina cuales trinomios son cuadrados perfectos y exprésalos como un binomio al cuadrado
a) x2 + 2x + 1 b ) 25m2 – 100m + 100
c ) 64x2 + 16xy + y2 d ) 81a2 – 36ab + 4b2
e ) 36k2 + 12k + 1 f) 4m2 – 14m + 9
4.- Factoriza cada trinomio cuadrado perfecto
a) v2 + 6v + 9 b) x4 – 4x2 + 4
c) a10 – 8a5 + 16 d) 9n2 + 12ab + 4b2
e) 16x2
+ 40xy2 + 25y4 f) 9x2
+ 12x + 4
EJERCICIOS DE AFIANZAMIENTO
FACTORIZAR:
1) a2 + 18a + 81 2) h2 + 20h + 100 3) x2 + 16x + 64
4) 4m2 + 12m + 9
5) 9t2 + 30t + 25 6) k2 – 8k + 16 7) r2 – 14r + 49
8) y2 – 12y + 36
9) x6
– 4x3 + 4
10) 36m2 – 84m + 49
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