Movimiento de proyectiles

 Continuamos el estudio de movimientos en dos dimensiones, es importante destacar que en ellos se presentan dos movimientos perpendiculares, simultáneos e independientes, este es el principio de independencia de Galileo.

SIMULACIÓN:

Con este enlace, puedes cambiar los valores de la simulación, despues de hacer click en el botón restablecer. Activa el botón animación lenta.

a) Coloca el valor de la altura inicial en cero, manteniendo constante el valor de la velocidad inicial, coloque el valor del ángulo de inclinación en un ángulo menor de 45 grados, luego en un ángulo de 45 grados, por último en un valor mayor de 45 grados. En cada simulación, deténgala, para activar en diferentes instantes, los botones de las coordenadas, la velocidad y la aceleración. ¿Para qué angulo el alcence horizontal es máximo?

b) Coloque el valor de la altura inicial en un valor diferente de cero, y para cualquier valor del ángulo de inclinación y de la velocidad inicial, observe el movimiento respectivo.  Mientras ocurre la simulación, deténgala, para activar en diferentes instantes, los botones de las coordenadas, la velocidad y la aceleración.

http://www.walter-fendt.de/html5/phes/projectile_es.htm

MOVIMIENTO DE PROYECTILES 

En el movimiento de proyectiles se cumple el principio de composición de movimientos de Galileo, en el eje horizontal el movimiento es rectilíneo uniforme y en el eje vertical el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado. La combinación de estos dos movimientos determina la trayectoria que describe el cuerpo. Por lo anterior,  la posición, o específicamente el vector posición, en cualquier instante corresponde a la suma vectorial de la componente en x más la componente en y, y tendrá como coordenadas (x,y).

El proyectil se lanza con una velocidad inicial, v_o  la cual hace un ángulo θ con la horizontal, este vector puede descomponerse en dos componentes rectangulares  v_ox  = v_ocos θ  = v_x, es constante durante todo el movimiento y v_oy = v_osen θ. Como se muestra a continuación.

La gráfica anterior ilustra muy bien este movimiento, podemos notar que la velocidad en el eje y va disminuyendo hasta ser cero cuando el proyectil alcanza su altura máxima, h, luego comienza a aumentar linealmente con el tiempo,  debemos resaltar  que la aceleración siempre está dirigida hacia el centro de la tierra. 

Esta gráfica muestra las componentes de la velocidad en varios instantes, puedes comprobar con el teorema de Pitágoras si es cierto. La hice usando el simulador de la Universidad de Colorado, Phet.

 IMPORTANTE:  En la serie The code, casi al final del primer episodio del primer capítulo hacen una demostración espectacular del movimiento de proyectiles y una bonita explicación.
 
 SIMULACIÓN:

Practica con esta simulación del lanzamiento de un proyectil, usando el mismo ángulo pero con diferentes cuerpos, con y sin rozamiento, y otras cosas interesantes de este movimiento con:

https://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_es.html 

 

 
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES

En el eje x como el movimiento es rectilíneo uniforme, la ecuación de movimiento es:

 X =    v_oxt = v_ocosθt          (1)

En el eje vertical, eje Y, se cumplen las ecuaciones de caída libre:

v_y = v_oy  – gt 

v_y = v_o sen θ – gt           (2)

v²_y = v²_oy  – 2gy

v²_y = (v_o sen θ)²  – 2gy        (3)

y = v_oy t – ½ gt²

 

y = v_o sen θt – ½ gt²           (4)

Demostremos por qué a este movimiento también se le llama parabólico, despejemos t de la ecuación (1) y lo reemplazamos en la ecuación (4):

 t = x / v_o cos θ       , luego:

y = v_o sen θ (x / v_o cos θ) – ½ g (x / v_o cos θ)²

Donde obtenemos:

 y = tanθ(x) – g(x)² / 2(v_o)² (cos θ)²          (5)

          

Esta función representa una parábola cóncava hacia abajo y desplazada hacia la derecha.

Utilizando esta ecuación y si el proyectil cae en el mismo nivel que fue lanzado, en este caso y = 0, la distancia horizontal corresponde al alcance máximo, R, entonces la ecuación (5)  quedaría:

0 = tanθ – gR/2(v_o)² (cos θ)²           , transponiendo términos:

R = 2(v_o)² (cos θ)²)sen θ/ gcos θ

R = (v_o)²(2sen θ cos θ)/g  

Utilizando la identidad trigonométrica: 

Sen (2θ) = 2senθcosθ 

De aquí obtenemos el alcance máximo:

R = (v_o)²(sen2θ)/g        (6)

 ¿Para qué ángulo se logra el mayor alcance máximo?          

             

La expresión (6) es máxima si:   sen2θ = 1,  como sen 90º = 1,  entonces 2θ = 90º de donde se concluye que θ = 45º. Es decir, en el movimiento parabólico se logra mayor alcance  máximo cuando el ángulo de tiro es de 45º.

Compruébalo con éste simulador:

http://www.educaplus.org/play-306-Lanzamiento-oblicuo.html

Demostremos que el tiempo que tarda el proyectil en el aire con la ecuación  (2) y (4), tiempo de vuelo, t_v, es el doble del tiempo que gasta en alcanzar la máxima altura, es decir, que el tiempo que gasta en subir, t_s,  es el mismo tiempo que emplea en bajar:

 Cuando el proyectil alcanza la altura máxima, la componente de la velocidad en el eje y se hace cero y el tiempo que gasta es el tiempo de subida, t_s:

v_y = v_osen θ – gt           (1)

0 = v_osen θ – gt_s      despejando el tiempo:

t_s =     v_osen θ/g       (2)

Cuando el proyectil cae, en la ecuación (4) y = 0, el tiempo empleado es el tiempo de vuelo t_v:

y = v_o sen θt – ½ gt²           (3)

0 = v_o sen θt_v – ½ g (t_v)²       despejando t_v y utilizando la ecuación (2):

t_v = 2v_o sen θ/g = 2t_s

 PARA PRACTICAR TIRO PARABÓLICO

SIMULACIÓN:

http://www.educaplus.org/game/alcance-y-altura-maxima

Es muy importante señalar que  existen dos ángulos con los cuales se  obtiene el mismo alcance máximo, que son el ángulo y su complemento, esto es debido a  que por trigonometría, sen(θ) = sen(180 – θ), es decir, el seno de un ángulo y  el seno de su suplemento son iguales, ya que en la ecuación del alcance máximo, R, se calcula es el seno del ángulo doble. Por ejemplo, para los ángulos complementarios 30º y 60º, se tiene que: 

sen (2x30º) = sen (2x60º) , o sea, sen (60º) = sen (120º). 

 SIMULACIÓN:

En esta simulación la puedes comprobar

http://www.educaplus.org/game/canones-complementarios

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO EN EL PLANO: 

http://es.slideshare.net/yohinerz/ejercicios-resueltos-de-fisica-movimiento-parabolico

http://profesor10demates.blogspot.com.co/2013/10/tiro-oblicuo-parabolico-ejercicios.html

PROBLEMAS PROPUESTOS: Resuelve estos problemas sobre movimientos en el plano:

http://www7.uc.cl/sw_educ/educacion/grecia/plano/html/pdfs/cra/fisica/NM3/RFE3G_001.pdf

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE LANZAMIENTO HORIZONTAL

1.- Una bola rueda horizontalmente sobre una mesa de 75cm de altura con una velocidad de 4m/s:

a) Distancia medida en horizontal a la que la roca toca el suelo
b) Vector velocidad con la que llega al  suelo y su valor
c)Vector de posición a los 0,2 s. de abandonar la mesa.

2.- Un piloto, volando horizontalmente a 500 m de altura y 1080 km/h, lanza una bomba. Calcular:  A qué distancia se encontraba el objetivo.

3.- Un avión en vuelo horizontal a una altura de 100 m y con una velocidad de 70 m/s, deja caer una bomba. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo, el alcance (desplazamiento horizontal de la bomba) y la velocidad al llegar al suelo  

4.- Se lanza una bola horizontalmente desde una altura de 100 metros con una velocidad de 20m/s . Encuentra la ecuación de la trayectoria.

5.- Una pelota rueda sobre el tablero de una mesa a 1.5 m del suelo y cae por su borde. Si impacta  contra el suelo a una distancia de 1.8 m medidos horizontalmente.

a) ¿Con que velocidad cayó de la mesa?

b)¿Con qué velocidad llegó justo al suelo?

6.- Un avión que vuela a 400 m de altura, a 900 km/h, debe destruir un polvorín. ¿A qué distancia horizontal del polvorín debe dejar caer la bomba para destruirlo?

PROBLEMAS PROPUESTOS MOVIMIENTO PARABÓLICO

1.- Un jugador patea un balón de fútbol y éste sale despedido en un ángulo de 36° y con una velocidad de 20 m/s. Calcule: a) la altura máxima que alcanza el balón, b) el tiempo  que el balón  permanece en el aire, c) la distancia que ha recorrido al caer.

2.- Desde un edificio de 30 m de altura se tira una piedra con una velocidad de 25 m/s formando un ángulo con la horizontal de 40°. a) ¿Qué altura máxima alcanza respecto del suelo? b) ¿Cuál es la velocidad con la que choca contra el suelo? c) ¿A qué distancia cae con respecto a la base del edificio?

3.- Se dispara una flecha con una velocidad de 144 K/h, si tiene un alcance de 100 m, ¿con qué ángulo fue lanzada? ¿Qué altura máxima alcanza?

4.- Se dispara un cañón con un ángulo de inclinación de 50º y una velocidad de salida del proyectil de 30 m/s cayendo, éste, posteriormente en una plataforma situada a 4 m del suelo. Calcula: a) Tiempo que tarda en caer.  b) Velocidad de caída del proyectil.

5.- Un proyectil en un planeta desconocido, alcanza una altura máxima de 15 m, al lanzarse con una velocidad de 40 m/s y un ángulo de 35°. ¿Cuál es el valor de la aceleración de la gravedad en ese planeta? ¿Un atleta olímpico alcanzará un salto alto allá o aquí en la tierra?

6.- Si en un instante un proyectil tiene la posición en metros de (12, 25), y ha sido lanzado con un ángulo de 60°. ¿Con qué velocidad inicial se lanzó?

7.- Un niño patea una pelota con una velocidad inicial de 30 m/s con un ángulo de 30°. ¿Cuáles son las coordenadas del punto más alto de la trayectoria? ¿Qué velocidad tiene la pelota en ese punto?